不走寻常路—寻找中点
初二 记叙文 1000字 51人浏览 王钰最爱鸡涌君

给你一条线段 AB ,再预先给你一条平行于线段 AB 的直线 l 。请只用直尺作出线段 AB 的中点。

你能想到该怎么做吗?

在直线 l 的另一侧任取一点 C 。连接 AC 、 BC ,分别与 l 交于点 D 、点 E 。连接 AE 、 BD ,两线段交于点 F 。则 CF 的延长线与 AB 的交点 H 就是 AB 的中点。 由于 △CDG 与 △CAH 、 △CEG 与 △CBH 是两对相似三角形,因此我们有 AH:DG = AC:DC = BC:EC = BH:EG

另外,由于 △AFH 和 △EFG 、 △BFH 与 △DFG 又是两对相似三角形,因此我们还有

AH:EG = FH:FG = BH:DG

注意到 AH:DG = BH:EG 以及 AH:EG = BH:DG 同时成立,等式两边对应相乘便可得到 AH = BH 。

且慢,这只是一道热身题而已,有意思的现在才真正开始:

给你一条线段 AB ,请你用直尺和圆规作出线段 AB 的中点,不过在作图过程中你只能用一次圆规。

这次你还能想出办法吗?

以 B 为圆心, AB 为半径作圆。延长 AB 与圆交于 C , AC 就成了圆的一条直径。过圆心 B 随便作另一条直径 DE ,于是四边形 ADCE 就是一个矩形。由于 AD ∥EC ,因

此借助前面讲过的方法我们能仅用直尺作出 AD 的中点 F ;类似地由于 AE ∥DC ,因此我们也能找出 AE 的中点 G ;显然, FG 的连线与 AB 的交点 H 就是 AB 的中点。

好了,如果前两个问题你都想到了的话,请准备好接受终极挑战吧:

给你一条线段 AB ,请你只用圆规作出线段 AB 的中点。

以 B 为圆心, AB 为半径作圆。以 AB 为长度,从 A 点出发,在圆周上连续截取三次,得到点 C 。这个点 C 显然满足 AC = 2AB ,它相当于是倍长 AB 后得到的点。现在,以 A 为圆心, AB 为半径作圆,再以 C 为圆心, AC 为半径作圆,两圆交于点 D 。以

D 为圆心, AD 为半径作圆,与 AB 交于点 E 。 E 就是 AB 的中点。

这是因为, △CAD 与 △DAE 是一对相似三角形(它们都是以 ∠A 为底角的等腰三角形),而 AD 是 AC 的一半,因此 AE 就是 AD 的一半。而 AD 是等于 AB 的,因此 AE 也就是 AB 的一半了。