对一道数学题理解
六年级 其它 1151字 152人浏览 绿色心情568

1 对一道数学题的展开

赖友志

在数学复习教学中,选好一道例题。通过一题多思,一题多解,一题多讲。可以巩固学生知识,训练学生思维,开拓学生视野。

例题:已知x,y∈R+且191=+

y x ,求x+y的最小值。 法一:均值不等式法

12

12

(26

9916911, 的最小值是⑶时取等号)当且仅当⑵

又时取等号)即⑴

y x y x y x xy y x xy x y y

x xy y x R y x +∴≥+∴=≥+≥∴==≥+=∴∈+

此题答案有误。因为⑴,⑵式的等号不能同时成立,所以⑶式等号不能取。但事实上推导过程无误,只不过扩大了x+y的范围。此种推导在选择题时,其选择项若是6,8,12,16,当可排除6,8,12得16。

2 此法作为例子强调使用重要不等式时等号成立条件的必不可少。

法2,1的妙用

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛===≥++=++=+∴=+时取等号时即12, 4916910) 91)((191y x y x x y y x x y y x y x y x y

x

8) 11)(11)(11, 1, , , ≥---=++∈+c

b a c b a R c b a 求证(又如 c

b a c b a abc c b a 111, 1, , ++<++=求证是不等正数且再如 法3,构造x+y不等式法

可得得(由2) 2

10(9) 9)(1191-+≤=--=+y x y x y x 变式:已知x+xy+4y=5 (x,y ∈R +)求xy 取值范围 法4,换元后构造均值不等式法

时取等号)即当且仅当所以得由41

91(16

1

91101

99) 1(1

99191=-=-≥-+-+=-++=+>-+==+x x x x x x x y x x x y y x

3 法5,用判别式法

的最小值。的范围从而得到解得且可由△的二次方程得关于则令得由y x z z z z z z z x z x x x x x x x x z z y x x x x y y x +>--+-≥--==+-+-+=-+==+>-==+02

4) 8(804) 8(0

) 8(1

819, ) 1(1

91912222

注意实根分布情况讨论。

类似地,如2x+y=6,求y x 11+的范围也可用判别式法。 法6,三角代换法

16

) (cot9) (tan10) csc 9(sec, ) (sin9, ) (cos1222222≥++==+==θθθθθθ(+)则令y x y x

变:0<x<1,a>0,b>0,则x

b x a -+122的最小值 法7,导数法

) (40), 1(1

99,此极值必为最值在区间内有一个极值点中,=='>-+

+=x z x x x z 以上所涉及到的方法都是学生应掌握的。通过一道例题讲解即可复习多种方法。

2005年1月