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龙文学校高中数学必修3第三章教案090801 戴亨钊 张青春

一、考纲要求:

1. 事件与概率

(1) 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别。

(2) 了解两个互斥事件的概率加法公式。

2. 古典概型

(1) 理解古典概型及其概率计算公式。

(2) 会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率。

3. 随机数与几何概型

(1) 了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率。

(2) 了解几何概型的意义。

二、命题趋势

由于概率统计知识与实际生活密切相关,预计在以后的高考题中将越来越受重视,除以传统的选择题,填空题出现外,解答题也会出现。在实际应用于求概率等问题,主要考查学生的动手能力,分析能力及对基础知识的运用能力。

高考中本章试题难度不大,但考试遇到新题时大多数同学觉得很困难,所以,平时应该把常见的各种题型都练习到,各种类型的解法都掌握住,考试时以不变应万变。

(1) 以中低难度为主,在复习中主要以基础知识的内容为主,不应做偏题,难题。

(2) 把古典概型和几何概型作为复习的重点。

(3) 应注意培养自身利用概率知识对实际问题进行分析的能力。

三、基础知识,点式突破

知识点1 随机现象

(1) 随机现象

① 必然现象:在一定条件下必然发生的现象。如“地球每天绕太阳转动”为必然现象。

② 随机现象:在一定条件下多次观察同一现象,每次观察到的结果不一定相同。如“某射击运动员每一次射击命中的环数”为随机现象。

(2) 实验及实验结果

为了探索随机现象的规律性,需要对随机现象进行观察,我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为实验。把观察结果或实验结果称为实验结果。

(3) 随机试验

条件每实现一次,叫做进行一次实验,如果实验结果事先无法确定,并且可以重复进行,这种实验就叫做随机实验。如“从盛有3个排球,2个足球的框子里任取一球,取得排球的事件中,取出一球(不管是排球还是足球)就是一次实验。若把5个球全部取出,则做了5次试验。

知识点2 事件与基本事件空间

(1) 必然事件:我们把在条件S 下,一定会发的事件,叫做相对于条件S 的必然事件。简称必然事件。

比如,“导体通电时发热”,“抛一石块,下落”等都是必然事件。

(2) 不可能事件:在条件S 下,一定不会发生的事件,叫做相对于条S 的不可能事件,简称不可能事件。必然“在标准大气压下温度低于0冰融化”,在常温常压下,铁融化“等都是不可能事件。

(3) 确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件,简称确定事件。

(4) 随机事件:在条件S 下可能发生也可能不发生的事件的随机事件,简称随机事件。 比如:“李强射击一次,不中靶”,“掷一枚银币出现反面”都是随机事件。

注意:要搞清楚随机现象和随机事件之间的关系。随机现象是随机事件产生的原因,随机事件是随机现象的可能结果,是随机现象的反映。

(5) 事件及其表示方法:确定事件和随机事件称为事件,一般用大写字母A,B,C 表示。

(6) 基本事件:在试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用他们来表示,这样的事件称为基本事件。

(7) 基本事件空间:所有基本事件构成的集合称为基本事件空间,基本事件空间常用Ω表示 知识点3 频率与概率

1. 频率与概率

(1) 频数与频率:在相同的条件S 下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数;称事件A 出现的比例f n (A)=n

n A 为事件A 出现的概率 (2) 概率及其记法:对于给定的随机事件A ,如果随着试验次数的增加,事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P (A ),称为事件A 的概率。

(3) 频率与概率的区别与联系

① 频率本身是随机的,在试验前不能确定。做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同。 ② 概率是一个确定的数,与每次试验无关。是用来度量事件发生可能性大小的量。 ③ 频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率。

2随机事件的概率P(A)的范围

对于任何事件的概率的范围是:0≤P (A )≤1

其中不可能事件的概率是P (A )=0,必然事件的概率是P (A )=1

不可能事件与必然事件是一般事件的特殊情况

知识点4 概率的加法公式

(1) 互斥事件

① 定义:不可能同时发生的两个事件即事件A 发生,事件B 不发生;事件B 发生,事件A 不发生叫做互斥事件(或称不相容事件)

② 从集合角度看,记事件A 为集合A ,事件B 为集合B, 若事件A 与事件B 是互斥事件,则集合A 与集合B 交集为空集。

③ 推广:如果事件A 1, A 2, A n 中任何两个都互斥,就称事件A 1, A 2, A n 彼此互斥。从集合角度看n 个事件彼此互斥是指各个事件所含结果的集合彼此互斥,

(2) 对立事件

① 定义:不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件,事件A 的对立事件记作-

A

② 从集合的角度看,A 和-A 所含结果组成的集合是全集中互为补集的两个集合,这时A 和-A

的交集是不可能事件,A 和-A 的并集是必然事件,即-⋂A A = φ, Ω=⋃-A A

(3) 互斥事件与对立事件的区别与联系

① 两个对立事件一定是互斥事件,反之两个互斥事件不一定是对立事件。

② 两个事件对立是两个事件互斥的充分非必要条件

③ 两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件。

(4) 事件的并(或和)

① 定义:由事件A 和B 至少有一个发生(即A 发生或B 发生或A,B 都发生,称为事件A 与B 的并(或和)记作B A C ⋃=

② 事件A 与事件B 的并集等于事件B 与事件A 的并集,即B A ⋃=A B ⋃

③ 并事件有三层含义:事件A 发生,事件B 不发生;事件B 发生,事件A 不发生;事件A 与事件B 都发生。

④ 事件A 与B 的并集B A ⋃可推广如下:“n A A A ⋃⋃⋃ 21”表示这样一个事件:在同一实验中:n A A A , , , 21 中至少有一个发生,即表示n A A A ⋃⋃⋃ 21发生。

(5) 互斥事件的概率加法公式

如果事件A,B 互斥,那么B A ⋃发生(即A ,B 中至少有一个发生)的概率等于事件A,B 分别发生的概率的和,即P (B A ⋃)=P(A)+P(B)

① 一般地,如果事件n A A A , , , 21 两两互斥(彼此互斥)那么时事件“n A A A ⋃⋃⋃ 21”发生(是指n A A A , , , 21 至少有一个发生)的概率,等于这n 个事件发生的概率和,即P(n A A A ⋃⋃⋃ 21)=) () () (21n A P A P A P ++

② 对立事件的概率公式

若事件A 与B 互为对立事件,则B A ⋃为必然事件,所以P (B A ⋃)=1,又

P (B A ⋃)=P(A)+P(B),所以P(A)=1- P(B)

[说明] a. 公式使用的前提必须是对立事件,否则不能使用此公式。

b. 当一事件的概率不易直接求,但其对立事件的概率易求时,可运用此公式,即使用间接法求概率。

(6)概率的一般加法公式

①交(积)事件

若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生,则称此事件为事件A 与事件B 交事件(或称积事件) ,记作B A ⋂(或AB)

a. 用集合形式表示;

b. 事件A 与事件B 的交事件等于事件B 与事件A 的交事件,即B A ⋂=A B ⋂

②概率的一般加法公式

设A,B 是Ω的两个事件,则) () () () (B A P A P A P B A P ⋂-+=⋃

知识点5 古典概型

1. 基本事件及其特点

(1) 基本事件的定义

实验结果是有限个,且每个事件都是随机事件的事件,称为基本事件。

注意: ①基本事件是实验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用他们来表示;

②所以的基本事件都有有限个;

③每个基本事件的发生都是等可能的

(2) 基本事件的特点

① 任何两个基本事件是互斥的

② 任何事件都可以表示成基本事件的和

2. 古典概型

(1) 古典概型的定义

我们把具有:①实验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相等。以上两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型。

(2) 古典概型是一种特殊的概率模型,其特征是:

① 有限性,在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的基本条件。 ② 等可能性,每个基本事件发生的可能性是均等的

[说明] 一个实验是否为古典概型,在于这个实验是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性。并不是所有的实验都是古典概型。

(3) 古典概率模型的概率求法

如果一次实验中的等可能基本事件共有n 个,那么每一个等可能基本事件发生的概率都是n 1,如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件,那么事件A 发生的概率为P(A)= n

m 知识点6 几何概型

(1) 几何概型的概念

事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ,A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度,面积或体积)成正比,而与A 的位置和形状无关。满足以上条件的实验称为几何概型。

注意:①古典概型适用于所有实验结果是有限个且结果是等可能出现的情况,而几何概型则适用于实验结果是无穷多的情形。

③ 几何概型的特征:每个实验结果有无限多个,且全体结果可以用一个有度量的几何区域来表示;每次试验结果的各种结果是等可能的

(2) 几何概型的概率计算公式

在几何概型中,事件A 的概率定义为:P(A)= Ω

μμA ,其中Ωμ表示区域Ω的几何度量,A μ表示子区域A 的几何度量。

(3) 古典概型与几何概型的区别

古典概型与几何概型要求基本事件发生的可能性都是相等的,但古典概型要求基本事件有有限个,几何概型要求事件有无限多个。

四 例题分析

【例题1 】 (1)单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A 、B 、C 、D 四个选项中选择一个正确答案,如果考生掌握了考查内容,他可以选择唯一正确的答案,假设考生不会做,他随机选择一个答案,问他答对的概率是多少?

(2)国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话,发现30min 长的磁带上,从开始30s 处起,有10s 长的一段内容含两间谍犯罪的信息,后来发现,这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了,该工作人员声称他完全是无意中按错了键,使从此处起往后的所有内容都被擦掉了,那么由于按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大?

【分析】(1)中考生随机地选择一个答案是指选择A 、B 、C 、D 的可能性是相等的,且实验的可能结

果只有4;选择A 、选择B 、选择C 、选择D ,基本事件共有4,是有限个,故该实验是古典概型,基本事件个数为4个,答对只有一种结果,即m=1,n=4,可利用古典概率公式n

m ,求出事件的概率。 (2)中工作人员在0min 到30min 之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的,且按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间长度有关,故该实验是几何概型。工作人员在0s-30s 内任一时刻按错键,则含有犯罪内容的谈话会被全部擦掉,若在30s-40s 内任一时刻按错键,则含有犯罪内容的谈话被部分擦掉,所以所求事件占的长度为40s ,即32min ,而整个长度为30min ,可利用几何概型的概率公式P(A)= Ω

μμA ,求得事件的概率。 【解析】(1)有古典概型的概率计算公式得:

P(答对)= 4

的个数答对所包含的基本事件=41=0.25; (2)设事件A “按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉”,事件A 发生就是在0min 到3

2min 时间段内按错键,所以A μ=32min ,Ωμ=30min,P(A)= ΩμμA = 30

2= 451 【答】(1)考生答对的概率为0.25;(2)按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率为

451 【例题2】(1)向假设的三个相邻的军火库投掷一颗炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.025,炸中其余两个军火库的概率为0.1,只要炸中其中一个,另外两个也要发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率。

(2)甲乙两人各射击一次,命中率各为0.8和0.5,两人同时命中的概率为0.4,求甲乙两人至少有一人命中的概率。

【分析】(1)中投掷的一颗炸弹,只要炸中了其中的一个军火库,其余也要发生爆炸,所以“军火库发生爆炸”这一事件,就是炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件之和,且它们彼此互斥,由于是三个彼此互斥事件的并的概率,可利用公) () () () (C P B P A P C B A P ++=⋃⋃求得(2)中至少有一人命中,可看成是甲命中和乙命中这两事件的并事件,但“甲命中”和“乙命中”可能会同时发生不是互斥事件,由于是求两个不互斥事件的概率,可利用一般的概率加法公式) () () () (B A P A P A P B A P ⋂-+=⋃求得

【解析】(1)设以A 、B 、C 分别表示炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件,于是

P (A )=0.025,P(B)=P(C)=0.1.设D 表示军火库爆炸,则有D=C B A ⋃⋃,由于A 、B 、C 彼此互斥,∴P(D)= ) () () () (C P B P A P C B A P ++=⋃⋃=0.025+0.1+0.1=0.225

(2)设事件A 为“甲命中”,事件B 为“乙命中”,则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件B A ⋃,所以) () () () (B A P A P A P B A P ⋂-+=⋃=0.8+0.5-0.4=0.9

【答】(1)甲乙两人至少有一人命中的概率0.225

(2)甲乙两人至少有一人命中的概率0.9

【例题3 】 同时抛掷两个骰子(各个面上分别标有数1,2,3,4,5,6)求向上的数之积为偶数的概率。

【分析】 每掷一个骰子都有6种情况,同时掷两个骰子总的结果数为n=6×6, 由于每个结果出现的可能性都相等,所以是古典概型。关键是求“向上的数之积为偶数”这一事件所包含的结果数m ,然后利用P(A)= n

m ,即可求得概率,向上的数之积为偶数的情况比较多,可以先考虑其对立事件,即向上的数之积为奇数,向上的数之积为奇数的基本事件有(1,1)

,(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),共9个,即m=9 【解析】基本事件空间{}++∈∈≤≤≤≤N y N x y x y x , , 61, 6) , (共包含36个基本事件,设“向上的数之积为偶数”为事件A ,则-A 为“向上的数之积为奇数”,-A ={(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}共包含9个事件,根据古典概型的概率公式可得41369) (==

-A P , 由对立事件的性质知,1-) (-A P =1-4

1=4

3

【答】向上的数之积为偶数的概率为43 【小结】

在求等可能事件的概率时,一定要先根据事件的个数是否有限,判断该试验是古典概型还是几何概型。①对于古典概型试验概率的计算,关键是分清楚基本事件的个数n 与事件A 中包含的结果数m ,

有时需用列举法把基本事件一一列举出来,在利用公式P(A)= n

m 求出事件的概率,这是一个比较直观的好方法,但列举时必须按某一顺序做到不重复,不遗漏;②对于几何概型试验概率的计算,关键是求得事件A 所占的区域和整个区域的几何度量,然后代入公式即可求解。几何概型常用来解决与长度、面积、体积有关的问题。③互斥事件的概率加法公式仅适用于彼此互斥的事件的和(并)事件的概率求解,因此在应用公式之前,应先判断各个事件彼此是否互斥,若不互斥,则需要用一般概率加法公式。④利用对立事件概率公式解题