平行线复习
初三 记叙文 5042字 110人浏览 kjb1212射手

期末复习(一) 相交线与平行线

考点一 命题

【例1】已知下列命题:①若a >0,b >0, 则a+b>0; ②若a ≠b, 则a 2≠b 2; ③两点之间, 线段最短; ④同位角相等, 两直线平行. 其中真命题的个数是( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【解析】命题①、③、④显然成立, 对于命题②, 当a=2、b=-2时, 虽然有a ≠b, 但a 2=b2, 所以②是假命题, 故选C.

【方法归纳】要判断一个命题是假命题, 只需要举出一个反例即可. 和命题有关的试题, 多以选择题的形式出现, 以判断命题真假为主要题型

.

1. 下列语句不是命题的是( )

A. 两直线平行,同位角相等 B. 锐角都相等

C. 画直线AB 平行于CD D. 所有质数都是奇数

考点二 相交线中的角

【例2】如图所示,O 是直线AB 上一点, ∠AOC=13

∠BOC,OC 是∠AOD 的平分线

.

(1)求∠COD 的度数;

(2)判断OD 与AB 的位置关系, 并说出理由.

【分析】根据邻补角互补, 得∠AOC 与∠BOC 的和为180°. 利用已知条件, 即可求得∠AOC 的度数. 根据角平分线的定义得∠COD ,∠AOD 的度数, 从而判定出两直线的位置关系.

【解答】(1)∵∠AOC+∠BOC=180°, ∠AOC=

13∠BOC, ∴13

∠BOC+∠BOC=180°. ∴∠BOC=135°. ∴∠AOC=45°.

∵OC 平分∠AOD,

∴∠COD=∠AOC=45°.

(2)OD⊥AB. 理由如下:

∵∠COD=∠AOC=45°,

∴∠AOD=∠COD+∠AOC=90°.

∴OD ⊥AB.

【方法归纳】求角的度数问题时, 要善于从图形中挖掘隐含条件, 如:邻补角、对顶角, 然后结合条件给出的角的和、差、倍、分等关系进行计算

.

2. 如图,直线AB ,CD 相交于点O ,已知:∠AOC=70°,OE 把∠BOD 分成两部分,且∠BOE ∶∠EOD=2∶3,求∠AOE 的度数.

考点三 平行线的性质与判定

【例3】已知:如图,四边形ABCD 中, ∠A=106°-α, ∠ABC=74°+α,BD ⊥DC 于点D,EF ⊥DC 于点F.

求证:∠1=∠

2.

【分析】由条件得∠A+∠ABC=180°, 得AD ∥BC, 从而∠1=∠DBC. 由BD ⊥DC,EF ⊥DC, 可得BD ∥EF, 从而∠2=∠DBC, 所以∠1=∠2,结论得证.

【证明】∵∠A=106°-α, ∠ABC=74°+α,

∴∠A+∠ABC=180°.

∴AD ∥BC. ∴∠1=∠DBC.

∵BD ⊥DC,EF ⊥DC,

∴∠BDF=∠EFC=90°.

∴BD ∥EF.

∴∠2=∠DBC.

∴∠1=∠2.

【方法归纳】本题既考查了平行线的性质又考查了平行线的判定. 题目的证明用到了“平行线迁移等角”

.

3. (2013·盐城) 如图,直线a ∥b ,∠1=120°,∠2=40°,则∠3等于( )

A.60° B.70° C.80° D.90°

4. (2012·宜宾) 如图, 已知∠1=∠2=∠3=59°, 则∠

4=__________.

考点四 平移变换

【例4】(2013·晋江) 如图,在方格纸中(小正方形的边长为1) ,△ABC 的三个顶点均为格点,将△ABC 沿x 轴向左平移5个单位长度,根据所给的直角坐标系(O是坐标原点) ,解答下列问题:

(1)画出平移后的△A ′B ′C ′,并直接写出点A ′、B ′、C ′的坐标;

(2)求出在整个平移过程中,△ABC 扫过的面积.

【分析】(1)根据网格结构找出点A ′、B ′、C ′的位置,然后顺次连接即可,再根据平面直角坐标系写出坐标即可;

(2)观察图形可得△ABC 扫过的面积为四边形AA ′B ′B 的面积与△ABC 的面积的和,然后列式进行计算即可.

【解答】(1)平移后的△A ′B ′C ′如图所示;点A ′、B ′、C ′的坐标分别为(-1,5) 、(-4,0) 、(-1,0) ;

(2)由平移的性质可知,四边形AA ′B ′B 是平行四边形,

∴△ABC 扫过的面积=S四边形AA ′B ′B +S△ABC =B′B ·AC+12BC ·AC=5×5+12×3×5=25+152=652

. 【方法归纳】熟练掌握网格结构,准确找出对应点的位置是解题的关键

.

5. 下列A ,B ,C ,D 四幅“福牛乐乐”图案中, 能通过平移图1得到的是(

)

6. (2012·济南) 如图, 在Rt △ABC 中, ∠C =90°,AC =4, 将△ABC 沿CB 方向向右平移得到△DEF, 若平移距离为2, 则四边形ABED 的面积等于

__________.

一、选择题(每小题3分, 共30分)

1. 如图,直线AB 、CD 相交于点O ,所形成的∠1,∠2,∠3,∠4中,属于对顶角的是( )

A. ∠1和∠2 B. ∠2和∠3 C. ∠3和∠4 D. ∠2和∠

4

2. 如图,直线AB 、CD 被直线EF 所截,则∠3的同旁内角是( )

A. ∠1 B. ∠2 C. ∠4 D. ∠

5

3. 如图,已知AB ⊥CD ,垂足为点O ,图中∠1与∠2的关系是( )

A. ∠1+∠2=180° B. ∠1+∠2=90° C. ∠1=∠2 D. 无法确定

4. 如图,梯子的各条横档互相平行,若∠1=80°,则∠2的度数是( )

A.80° B.100° C.110° D.120°

5. 在下列图形中,哪组图形中的右图是由左图平移得到的?(

)

6. 命题:①对顶角相等;②过一点有且只有一条直线与已知直线平行;③相等的角是对顶角;④同位角相等. 其中假命题有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7. 平面内三条直线的交点个数可能有( )

A.1个或3个 B.2个或3个

C.1个或2个或3个 D.0个或1个或2个或3个

8. 下列图形中,由AB ∥CD ,能得到∠1=∠2的是( )

9. 如图,直线a ∥b ,直线c 分别与a 、b 相交于点A 、B. 已知∠1=35°, 则∠2的度数为( )

A.165° B.155° C.145° D.135°

10. 如图,点E 在CD 的延长线上,下列条件中不能判定AB ∥CD 的是( )

A. ∠1=∠2 B. ∠3=∠4 C. ∠5=∠B D. ∠B+∠BDC=180°

二、填空题(每小题4分,共20分)

11. 将命题“两直线平行,同位角相等”写成“如果„„那么„„”的形式是____________________.

12. 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角的度数之比是2∶7,那么这两个角的度数分别是__________.

13. 如图,AB ,CD 相交于点O ,AC ⊥CD于点C,若∠BOD=38°,则∠A 等于

__________.

14. 如图,BC ⊥AE ,垂足为点C ,过C 作CD ∥AB. 若∠ECD=48°,则∠

B=__________.

15. (2014·温州) 如图,直线AB ,CD 被BC 所截,若AB ∥CD ,∠1=45°,∠2=35°,则∠3=__________度

.

三、解答题(共50分)

16. (7分) 如图,已知AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,∠1=∠2. 试判断BE 与CF 的位置关系,并说明你的理由

.

解:BE ∥CF.

理由:∵AB ⊥BC,BC ⊥CD(已知) ,

∴∠__________=∠__________=90°(垂直的定义).

∵∠1=∠2(已知) ,

∴∠ABC-∠1=∠BCD-∠2,即∠EBC=∠BCF.

∴BE ∥CF(____________________).

17. (9分) 如图,直线AB 、CD 相交于点O ,P 是CD 上一点.

(1)过点P 画AB 的垂线段PE ;

(2)过点P 画CD 的垂线,与AB 相交于F 点;

(3)说明线段PE 、PO 、FO 三者的大小关系,其依据是什么?

18. (10分) 如图,O 是直线AB 上一点,OD 平分∠

AOC.

(1)若∠AOC=60°,请求出∠AOD 和∠BOC 的度数;

(2)若∠AOD 和∠DOE 互余,且∠AOD=

13∠AOE ,请求出∠AOD 和∠COE 的度数.

19. (12分) 如图, ∠1+∠2=180°, ∠A=∠C,DA 平分∠BDF.

(1)AE与FC 平行吗? 说明理由;

(2)AD与BC 的位置关系如何? 为什么?

(3)BC平分∠DBE 吗? 为什么?

20. (12分) 如图,已知AB ∥CD ,分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系,请从你所得四个关系中选出任意一个,说明你探究的结论的正确性

.

结论:(1)____________________;(2)____________________;(3)____________________;(4)____________________. 选择结论:____________________,说明理由.

参考答案

变式练习

1. C

2. ∵∠AOC=70°,∴∠BOD=∠AOC=70°.

∵∠BOE ∶∠EOD=2∶3,

∴∠BOE=223

×70°=28°. ∴∠AOE=180°-28°=152°.

3. C 4. 121° 5. C 6. 8

复习测试

1. D 2. B 3. B 4. B 5. C 6. C 7. D 8. B 9. C 10. A

11. 如果两直线平行,那么同位角相等 12. 40°,140° 13. 52° 14. 42° 15. 80

16. ABC BCD 内错角相等,两直线平行

17. (1)(2)图略;

(3)PE <PO <FO ,依据是垂线段最短.

18. (1)∵OD 平分∠AOC ,∠AOC=60°,

∴∠AOD=12

×∠AOC=30°,∠BOC=180°-∠AOC=120°. (2)∵∠AOD 和∠DOE 互余,

∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°.

∵∠AOD=

13

∠AOE , ∴∠AOD=13×90°=30°. ∴∠AOC=2∠AOD=60°.

∴∠COE=90°-∠AOC=30°.

19. (1)AE∥FC.

理由:∵∠1+∠2=180°, ∠2+∠CDB=180°,

∴∠1=∠CDB.

∴AE ∥FC.

(2)AD∥BC.

理由:∵AE ∥CF,

∴∠C=∠CBE.

又∠A=∠C,

∴∠A=∠CBE.

∴AD ∥BC.

(3)BC平分∠DBE.

理由:∵DA 平分∠BDF,

∴∠FDA=∠ADB.

∵AE ∥CF,AD ∥BC,

∴∠FDA=∠A=∠CBE, ∠ADB=∠CBD.

∴∠CBE=∠CBD.

∴BC 平分∠DBE.

20. (1)∠PAB+∠APC+∠PCD=360°

(2)∠APC=∠PAB+∠PCD

(3)∠APC=∠PCD-∠PAB

(4)∠APC=∠PAB-∠PCD

(1)过P 点作EF ∥AB ,

∴EF ∥CD ,∠PAB+∠APF=180°.

∴∠PCD+∠CPF=180°.

∴∠PAB+∠APC+∠PCD=360°.