自习课练习
初一 记叙文 13542字 116人浏览 yu丶qing

三轮复习(1)

1.已知i 是虚数单位,m ,n ∈R ,且m +i =1+n i ,则m +n i m -n i

= ( ) .A .-1 B .1 C .-i D .i 解析 由m +i =1+n i(m ,n ∈R ) ,

∴m =1且n =1.

则m +n i m -n i =1+i 1-i

(1+i )22i. 答案 D

2.已知集合A ={(x ,y )|x ,y 为实数,且x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|x ,y 为实数,且x +y =1},则A ∩B 的元素个数为 ( ) .A .4 B .3 C .2 D .1

解析 A ∩B 的元素个数,即为直线与圆的交点个数.

由⎩⎨⎧

x 2+y 2=1,x +y =1易知直线与圆有两个交点(0,1),(1,0), ∴A ∩B ={(0,1),(1,0)}.

答案 C

3.已知命题p :14≤2x ≤12,命题q :x +1x ⎣⎡⎦⎤-52

,-2,则下列说法正确的是( )A .p 是q 的充要条件 B .p 是q 的充分不必要条件 C .p 是q 的必要不充分条件 D .p 是q 的既不充分也不必要条件

解析 由14≤2x ≤12

2≤x ≤-1. 又-52≤x +1x ≤-2,得-2≤x ≤-12.

∴p 是q 的充分不必要条件.

答案 B

4.已知a =(1,sin 2x ) ,b =(2,sin 2x ) ,其中x ∈(0,π).若|a ·b |=|a |·|b |,则tan x 的值等于( )

A .1 B .-1 C. 3 D. 22

解析 由|a ·b |=|a |·|b |知,a ∥b .

所以sin 2x =2sin 2 x ,

即2sin x cos x =2sin 2 x ,而x ∈(0,π),

所以sin x =cos x ,

即x =π4tan x =1.

答案 A

5.若对∀a ∈(-∞,0) ,∃θ∈R ,使a sin θ≤a 成立,则cos ⎝⎛⎭⎫θ-π6的值为( )

A. 12 B. 13 C. 32 D. 22

解析 ∵a sin θ≤a ⇔a (sin θ-1) ≤0,

依题意,得∀a ∈(-∞,0) ,有a sin θ≤a .

∴sin θ-1≥0,则sin θ≥1.

又-1≤sin θ≤1,

因此sin θ=1,cos θ=0.

故cos ⎝ ⎛⎭

θ-π6=sin θsin π6cos θcos π6=12. 答案 A

6.已知复数z =1+a i(a ∈R ,i 是虚数单位) ,z z 35+45

i ,则a =________.

解析 1-a i 1+a i (1-a i )2(1+a i )(1-a i )=1-2a i -a 21+a 1-a 21+a -2a 1+a i =-35+45i ,因此1-a 21+a =-35,化简得5a 2-5=3a 2+3,a 2=4,则a =±2,由-2a 1+a 45

a <0,仅有a =-2满足,故a =-2.

答案 -2

7.如图,O 为△ABC 的外心,AB =4,AC =2,∠BAC 为钝角,M 是边BC 的中点,则AM →·AO →的值为________.

解析 延长AO 交△ABC 的外接圆于点N ,连接BN ,CN .

∵∠BAC 为钝角,

∴外心O 在△ABC 的外部.

又M 为BC 中点,

∴AM →=12

( AB →+AC →) . 因此AM →·AO →=14

AB →+AC →)·A N → =14(AB →·AN →+AC →·AN →) .

依题设,∠ABN =∠ACN =π2

∴AM → ·AO →=14

AB →|2+|AC →|2) =5. 答案 5

8.已知S k =1k +2k +3k +„+n k ,当k =1,2,3,„时,观察下列等式:

S 1=12n 212

n , S 2=13n 312n 2+16

, S 3=14n 412n 3+14

2, S 4=15n 512n 4+133-130

n , S 5=An 6+12n 5+512

n 4+Bn 2, „ 可以推测,A -B =________. 解析 由 S 1,S 2,S 3,S 4,S 5的特征,推测A =16又各项的系数和为1,

∴A +12+512+B =1,则B =-112因此推测A -B =1611214答案 14

9.已知二次函数f (x ) =ax 2+x ,若对任意x 1、x 2∈R ,恒有2f ⎝⎛x 1+x 22≤f (x 1) +f (x 2) 成立,不等式f (x ) <0的解集为A .(1)求集合A ;(2)设集合B ={x ||x +4|<a },若集合B 是集合A 的子集,求a 的取值范围. 解 (1)对任意x 1、x 2∈R ,

由f (x 1) +f (x 2) -2f ⎝ ⎛⎭⎫x 1+x 22=12

(x 1-x 2) 2≥0成立, 要使上式恒成立,所以a ≥0.

由f (x ) =ax 2+x 是二次函数知a ≠0,故a >0.

所以f (x ) =ax 2+x =ax ⎝ ⎛⎭

x +1a <0. 解得A =⎝ ⎛⎭

⎪⎫-1a 0. (2)B ={x ||x +4|<a }=(-a -4,a -4) ,

因为集合B 是集合A 的子集,

所以a -4≤0,且-a -4≥-1a

解得-2-5≤a ≤-2+5.

又a >0,∴a 的取值范围为(0,-2+5].

10.已知0<α<π4

,β为f (x ) =cos ⎝⎛2x +π8的最小正周期,a =⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α+14β,-1,b =(cos α,2) ,且a ·b =m ,求2cos 2α+sin 2(α+β)cos α-sin α

解 因为β为f (x ) =cos ⎝ ⎛⎭

2x +π8的最小正周期, 故β=π.因为a ·b =m ,

又a ·b =cos α·tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫α+π4-2, 故cos α·tan ⎝ ⎛⎭

α+π4=2+m . 由于0<α<π4,

所以2cos 2 α+sin 2(α+β)cos α-sin α=2cos 2 α+sin 2αcos α-sin α

=2cos α(cos α+sin α)cos α-sin α

=2cos α1+tan α1-tan α

=2cos α·tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫α+π4 =2(2+m ) =4+2m .

(2)

1. 阅读下列程序框图,运行相应程序,则输出的S 值为 (A )

A . 81- B . 81 C . 161 D . 32

1 2.已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为1的球面上,且满足0PA PB ⋅=,

0PB PC ⋅=,0PC PA ⋅=, 则三棱锥P ABC -的侧面积的最大值为 ( C)

A .12 B .1 C .2 D .4

3.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧ 0≤x ≤

,y ≤2,x ≤ 2y

给定,若M (x ,y ) 为D 上的动点,点A 的坐标为( 2,1) ,则z =OM →·OA →的最大值为( )

A .4 2 B .3 2 C .4 D .3 解析 作不等式组表示的平面区域D ,如图所示.

又z =OM →·OA →=(x ,y (2,1)

=2x +y ,

∴y =-2x +z .

令l 0:y =-2x ,平移直线l 0,

当过点M (2,2) 时,截距z 有最大值. 故z max =2³2+2=4.

答案 C

4.已知正项等比数列{a n }满足:a 3=a 2+2a 1,若存在两项a m ,a n 使得

a m a n =4a 1,则1m +4n

的最小值为( ) . A. 32 B. 53 C. 256 D .不存在 解析 设等比数列{a n }的公比为q (q >0) , ∵a 3=a 2+2a 1,

∴a 1q 2=a 1q +2a 1,解之得q =2.

又a m a n =4a 1,

∴a 21q m +n -2=16a 21,

∴2m +n -2=16.

因此m +n =6.

则⎝ ⎛⎭

⎪⎫1m +4n (m +n ) =5+n m +4m n ≥9. 当且仅当n =2m (即n =4,m =2) 时取等号.

∴⎝ ⎛⎭

⎪⎫1m +4n (m +n ) 的最小值为9, 从而1m +4n 的最小值为32.

答案 A

5.某高校从5名男大学生志愿者和4名女大学生志愿者中选出3名派到3所学校支教(每所学校一名志愿者) ,要求这3名志愿者中男、女大学生都有,则不同的选派方案共有( )

A .210种 B .420种 C .630种 D .840种 解析 从这9名大学生志愿者中任选3名派到3所学校支教,则有A 39种选派方案,3名志愿

者全是男生或全是女生的选派方案有A 35+A 34种,故符合条件的选派方案有A 39-(A35+A 34) =

420种.

答案 B

6.已知⎝ ⎛⎭

⎪⎫x +123x n (n ∈N *) 的展开式中,前三项系数成等差数列,则展开式中的常数项是( ) A .28 B .70 C. 716 D. 358

解析 展开式的前三项的系数分别为C 0n ,121n ,142n ,则由题意可得C 0n +14C 2n =C 1n ,即n 2-9n

+8=0,解得n =8(n =1舍去) .于是T r +1=C r 8x 8-r ⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫123x r = C r 8⎝ ⎛⎭

⎪⎫12r x ,若T r +1为常数项,则8-43r =0,即r =6. 故展开式中的常数项为T 7=C 68⎝ ⎛⎭126=716

. 答案 C

7.(a +x )(1+ x ) 5的展开式中x 2项的系数是15,则展开式的所有项系数的和是________. 解析 (a +x )(1+x ) 5的展开式中含x 2项为

a ·C 45(x ) 4+x ·C 25(x ) 2=(5a +10) x 2.

依题意5a +10=15,∴a =1. 在(a +x )(1+x ) 5中令x =1,

得2·(1+1) 5=64.

∴展开式中的所有项系数的和为64.

答案 64

8.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F 分别为线段AA 1,B 1C 上的点,

则三棱锥D 1-EDF 的体积为________.

答案 (1)1∶24 16

解析 (1)设三棱锥F -ADE 的高为h ,

则V V 213⎝⎛⎭⎫12·AE ·sin ∠DAE (2h )12

2AD )(2AE )sin ∠DAE =124

(2)利用三棱锥的体积公式直接求解.

VD 1-EDF =VF -DD 1E =13S △D 1DE ·AB 1312³1³1³116

9.( 2013·济南模拟) 若双曲线x 2a -y 2

b =1(a >0,b >0)与直线y 3x 无交点,则离心率e 的取值范围是________.

解析 因为双曲线的渐近线为y =b a ,要使直线y 3x 与双曲线无交点,则直线y =3x 应

在两渐近线之间,所以有b a 3,即b ≤3a ,所以b 2≤3a 2,c 2-a 2≤3a 2,即c 2≤4a 2,e 2≤4,

所以1<e ≤2.

答案 (1,2]

10.甲、乙两人玩猜数字游戏,规则如下:

①连续竞猜3次,每次相互独立;

②每次竞猜时,先由甲写出一个数字,记为a ,再由乙猜甲写的数字,记为b ,已知a ,b ∈{0,1,2,3,4,5},若|a -b |≤1,则本次竞猜成功;

③在3次竞猜中,至少有2次竞猜成功,则两人获奖.

求甲乙两人玩此游戏获奖的概率.

解 由题意基本事件的总数为C 16³C 16=36(个) ,记事件A 为“甲乙两人一次竞猜成功”,若

|a -b |=0,则共有6种竞猜成功;若|a -b |=1,a =1,2,3,4时,b 分别有2个值;而a =0或5时,b 只有一种取值.

利用古典概型的概率计算公式即可得出P (A ) =6+5³23649设随机变量X 表示在3次竞猜中竞猜成功的次数,则甲、乙两人获奖的概率P (X ≥2) =1

-P (X =0) -P (X =1) =1-C 03³⎝ ⎛⎭⎪⎫490⎝ ⎛⎭⎪⎫1-493-C 13⎝ ⎛⎭491⎝ ⎛⎭1-492=304729

11.若函数f (x ) 对任意的实数x 1,x 2∈D ,均有|f (x 2) -f (x 1)|≤

|x 2-x 1|,则称函数f (x ) 是区间D 上的“平缓函数”.

(1)判断g (x ) =sin x 和h (x ) =x 2-x 是不是实数集R 上的“平缓函数”,并说明理由;

(2)若数列{x n }对所有的正整数n 都有|x n +1-x n |≤

1(2n +1)y n =sin x n ,求证:|y n +1-y 1|<14. (1)解 g (x ) =sin x 是R 上的“平缓函数”,但h (x ) =x 2-x 不是区间R 上的“平缓函数”. 设φ(x ) =x -sin x ,则φ′(x ) =1-cos x ≥0,则φ(x ) =x -sin x 是实数集R 上的增函数, 不妨设x 1<x 2,则φ(x 1) <φ(x 2) ,即x 1-sin x 1<x 2-sin x 2,

则sin x 2-sin x 1<x 2-x 1. ①

又y =x +sin x 也是R 上的增函数,则x 1+sin x 1<x 2+sin x 2,

即sin x 2-sin x 1>x 1-x 2, ②

由①②得-(x 2-x 1) <sin x 2-sin x 1<x 2-x 1.

∴|sin x 2-sin x 1|<|x 2-x 1|对x 1<x 2都成立.

当x 1>x 2时,同理有|sin x 2-sin x 1|<|x 2-x 1|成立.

又当x 1=x 2时,|sin x 2-sin x 1|=|x 2-x 1|=0,

∴对任意的实数x 1,x 2∈R ,

均有|sin x 2-sin x 1|≤|x 2-x 1|.

∴g (x ) =sin x 是R 上的“平缓函数”.

∵|h (x 1) -h (x 2)|=|(x 1-x 2)(x 1+x 2-1)|,

取x 1=3,x 2=2,则|h (x 1) -h (x 2)|=4>|x 1-x 2|,

∴h (x ) =x 2-x 不是R 上的“平缓函数”.

(2)证明 由(1)得g (x ) =sin x 是R 上的“平缓函数”.

则|sin x n +1-sin x n |≤|x n +1-x n |,

∴|y n +1-y n |≤|x n +1-x n |.

而|x n +1-x n |≤1(2n +1) ∴|y n +1-y n |≤1(2n +1)14n +4n 14⎝⎛⎭

1n 1n +1. ∵|y n +1-y 1|=|(y n +1-y n ) +(y n -y n -1) +(y n -1-y n -2) +„+(y 2-y 1)|,

∴|y n +1-y 1|≤|y n +1-y n |+|y n -y n -1|+|y n -1-y n -2|+„+|y 2-y 1|.

∴|y n +1-y 1|≤14⎣⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭1n 1n +1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1-1n +„+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12

=14⎝ ⎛⎭

⎪⎫1-1n +1<14.

(3)

1.函数y =

的定义域是( )A .[-2,-1) ∪(12] B .(3,-1) ∪(12) C .[-2,-1) ∪(1,2] D .(-2,-1) ∪(1,2)

解析 ∵⇔⎩⎨⎧

x 2>1,

x 2-1≤1⇔ ⎩⎨⎧ x 2>1,x 2≤2⇔⎩⎨⎧

x >1或x <-1,-2≤x ≤2 ⇔-2≤x <-1或1<x ≤2.

∴y =

的定义域为[-2,-1) ∪(1,2].

答案 A

2.已知函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f (x ) =2x -3,则f (-2) =( )

A .1 B .-1 C. 14 D 114 解析 ∵f (x ) 为R 上的奇函数,∴f (-2) =-f (2).

当x =2时,f (2)=22-3=1,∴f (-2) =-1.

答案 B

3.直线y =x 与函数f (x ) =⎩⎪⎨⎪⎧

2,x >m ,x 2+4x +2,x ≤m 的图象恰有三个公共点,则实数m 的取值范围是( ) A .[-1,2) B .[-1,2] C .[2,+∞) D .(-∞,-1]

解析 直线y =x 与函数f (x ) =⎩⎨⎧ 2,x >m ,x 2+4x +2,x ≤m

的图象恰有三个公共点,即方程x 2+4x +2=x (x ≤m ) 与x =2(x >m ) 共有三个根.

∵x 2+4x +2=x 的解为x 1=-2,x 2=-1,

∴-1≤m <2时满足条件,故选A.

答案 A

4.函数y xa x

|x |<a <1) 的图象的大致形状是 ( ) .

解析 函数定义域为{x |x ∈R ,x ≠0},且y =xa x |x |=⎩⎨⎧

a x ,x >0,-a x ,x <0. 当x >0时,函数是一个指数函数,其底数0<a <1,所以函数递减;当x <0时,函数图象与指数函数y =a x (x <0) 的图象关于x 轴对称,函数递增,所以应选D.

答案 D

5.设f (x ) 与g (x ) 是定义在同一区间[a ,b ]上的两个函数,若函数y =f (x ) -g (x ) 在x ∈[a ,b ]上有两个不同的零点,则称f (x ) 和g (x ) 在[a ,b ]上是“关联函数”,区间[a ,b ]称为“关联区间”.若f (x ) =x 2-3x +4与g (x ) =2x +m 在[0,3]上是“关联函数”,则m 的取值范围是 ( ) .

A. ⎝⎛⎦⎤-94,-2 B .[-1,0] C .(-∞,-2] D. ⎝⎛⎭

⎫-94 解析 f (x ) =x 2-3x +4为开口向上的抛物线,g (x ) =2x +m 是斜率k =2的直线,可先求出g (x ) =2x +m 与f (x ) =x 2-3x +4相切时的m 值.

由f ′(x ) =2x -3=2得切点为⎝ ⎛⎭

52,114,此时m =-94, 因此f (x ) =x 2-3x +4的图象与g (x ) =2x +m 的图象有两个交点只需将g (x ) =2x -94可.

再考虑区间[0,3],可得点(3,4)为f (x ) =x 2-3x +4图象上最右边的点,此时m =-2,所以m ∈⎝ ⎛⎦

⎥⎤-94,-2. 答案 A

6.已知函数f (x ) =⎩⎪⎨⎪⎧

⎝⎛⎭⎫12x +34x ≥2,log 2x ,0<x <2.

若函数g (x ) =f (x ) -k 有两个不同的零点,则实数k 的取值范围是________. 解析 画出函数f (x ) 图象如图.

要使函数g (x ) =f (x ) -k 有两个不同零点,只需y =f (x ) 与y =k 的图象有两个不同交点,由图易

知k ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫341. 答案 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫34,1 7.若函数f (x ) =(2-m )x x +m

的图象如图,则m 的取值范围是________.

解析 ∵函数f (x ) 的定义域为R ,∴x 2+m 恒不等于零,∴m >0. 由题图知,当x >0时,f (x ) >0,∴2-m >0⇒m <2.

又∵在(0,+∞) 上函数f (x ) 在x =x 0(x 0>1) 处取得最大值,而f (x ) =2-m

x +m x

x 0=m >1⇒m

>1. 综上,1<m <2.

答案 (1,2)

8.已知定义在R 上的函数y =f (x ) 满足条件f ⎝⎛x 32=-f (x ) ,且函数y =f ⎝⎛x -34为奇函数,给出以下四个命题: (1)函数f (x ) 是周期函数;

(2)函数f (x ) 的图象关于点⎝⎛⎭

⎫-34,0对称; (3)函数f (x ) 为R 上的偶函数;

(4)函数f (x ) 为R 上的单调函数.

其中真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号)

解析 由f (x ) =f (x +3) ⇒f (x ) 为周期函数,且T =3,(1)为真命题;又y =f ⎝ ⎛⎭

x -34关于(0,0)对称,y =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -34向左平移34个单位得y =f (x ) 的图象,则y =f (x ) 的图象关于点⎝ ⎛⎭

⎪⎫-34,0对称, (2)为真命题;又y =f ⎝ ⎛⎭x -34为奇函数,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -34=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-x -34,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -34-34=-f ⎝ ⎛⎭

34-x -34=-f (-x ) ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -32=-f (-x ) ,f (x ) =f (x -3) =-f ⎝ ⎛⎭

x -32=f (-x ) , ∴f (x ) 为偶函数,不可能为R 上的单调函数,(3)为真命题;(4)为假命题,故真命题为(1)(2)(3). 答案 (1)(2)(3)

9.(本题满分14分) 如图(1)在等腰ABC ∆中,D ,E ,F 分别是AB ,AC 和BC 边的中点,120ACB ∠=,现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A-DC-B.(如图(2))

(I )试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系,并说明理由;

(II )求二面角E-DF-C 的余弦值;

(III )在线段BC 是否存在一点P ,但AP ⊥DE ?证明你的结论.

【答案】解:(Ⅲ)在线段BC 上不存在点P ,使AP⊥DE,„„„„„„„„„ 9分

证明如下:在图2中, 作AG⊥DE,交DE 于G 交CD 于Q 由已知得

∠AED=120°,于是点G 在DE 的延长线上,从而Q 在DC 的延长线

上,过Q 作PQ⊥CD交BC 于P∴PQ⊥平面ACD ∴PQ⊥DE

∴DE⊥平面APQ∴AP⊥DE.但P 在BC 的延长线上。„„„„„„„ 12分

【法二】(Ⅱ)以点D 为坐标原点,直线DB 、DC 为x 轴、y 轴,建立空间直角坐标系,

x

设CD =a ,则AC =BC =2a

, AD =DB =则A (0,0

,)

,B (,0,0), C (0,,0,), (0,), , ,0) 22a

a

a E F .„„„„„„„„„ 5分

取平面CDF 的法向量为(0,0,1)m =设平面EDF 的法向量为(, ,

) n x y

z =,

00DF n

DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得0

y n y +==-=⎪⎩ 取,„„„„6分

cos ,

||||m n m n m n ⋅<>==,„„„„„„„„„„„„„„„ 7分

所以二面角E —DF —C ;„„„„„„„„„„„ 8分

【解】(Ⅲ)设23

(, ,0), 0322a

P x y AP DE y a y a ⋅=-=∴=则, A

B

C

E

F

图(2) A B C D E

F 图(1)

又(, ,0), (, ,0) BP x y

PC x a y =

=--

, „„„„„„„„„„„„„„„ 9分

//, ()() , BP PC x a y xy x

∴-=-∴= „„„„„„„„„11分

把3y a x ==-代入上式得,可知点P 在BC 的延长线上

所以在线段BC 上不存在点P 使AP⊥DE. „„„„„„„„„„„„„„„„„„ 12分

【解析】略

10.已知函数f (x ) =⎝⎛⎭⎫13x ,x ∈[-1,1],函数g (x ) =[f (x )]2-2af (x ) +3的最小值为h (a ) .

(1)求h (a ) ;

(2)是否存在实数m 、n 同时满足下列条件:

①m >n >3;

②当h (a ) 的定义域为[n ,m ]时,值域为[n 2,m 2]?若存在,求出m 、n 的值;若不存在,说明理由.

解 (1)∵x ∈[-1,1],∴f (x ) =⎝ ⎛⎭13x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,3. 设t =⎝ ⎛⎭13x ,t ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤13,3, 则y =φ(t ) =t 2-2at +3=(t -a ) 2+3-a 2.

当a <13y min =h (a ) =φ⎝ ⎛⎭13=289-2a 3; 当13≤a ≤3时,y min =h (a ) =φ(a ) =3-a 2;

当a >3时,y min =h (a ) =φ(3)=12-6a .

∴h (a ) =⎩⎪⎨⎪⎧ 289-2a 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a <13,3-a 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤a ≤3,12-6a (a >3).

(2)假设满足题意的m 、n 存在,

∵m >n >3,

∴h (a ) =12-6a 在(3,+∞) 上是减函数.

∵h (a ) 的定义域为[n ,m ],值域为[n 2,m 2],

∴⎩⎨⎧

12-6m =n 2,①12-6n =m 2,② 由②-①得6(m -n ) =(m -n )(m +n ) ,

∵m >n >3,∴m +n =6,但这与“m >n >3”矛盾,∴满足题意的m 、n 不存在.

(4

1.若曲线y =2x 2的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直,则切线l 的方程为( )

A .x +4y +3=0 B .x +4y -9=0 C .4x -y +3=0 D .4x -y -2=0

解析 y ′=4x ,设切点M (x 0,y 0) ,∴k =4x 0. 又∵x +4y -8=0的斜率k 1=

-14,∴k =4x 0=4,x 0=1,y 0=2x 20=2,即切点为M (1,2),k =4. 故切线l 的方程为y -2=4(x -1) ,即4x -y -2=0,故选D.

答案 D

2.函数f (x ) =e x sin x 在区间⎣⎡0,π2上的值域为 ( ) .

解析 f ′(x ) =e x (sin x +cos x ) .

∵x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0,π2,f ′(x ) >0. ∴f (x ) 在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0,π2上是单调增函数, ∴f (x ) min =f (0)=0,

f (x ) max =f ⎝ ⎛⎭

π2=.

答案 A

3.已知函数y =f (x ) ,其导函数y =f ′(x ) 的图象如图所示,则y =f (x ) ( )

A .在(-∞,0) 上为减函数 B .在x =0处取极小值 C .在(4,+∞) 上为减函数D .在x =2处取极大值 解析 使f ′(x ) >0的x 的取值范围为增区间;使f ′(x ) <0的x 的取值范围为减区间. 答案 C

4.设f (x ) =⎩⎪⎨⎪⎧

x 2,x ∈[0,1]2-x ,x ∈(1,2],则⎠⎛02f (x )d x 等于 ( ) .34 B. 45 C. 56 D .不存在

解析 ⎠⎛02f (x )d x =⎠⎛01x 2d x +⎠⎛12(2-x )d x =13·x 3⎪⎪⎪ 10+ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -12x 2⎪⎪⎪

21=13+⎝ ⎛⎭⎪⎫4-2-2+12=56

. 答案

C

5.设f (x ) 在R 上可导,其导数为f ′(x ) ,给出下列四组条件:

①p :f (x ) 是奇函数,q :f ′(x ) 是偶函数; ②p :f (x ) 是以T 为周期的函数,q :f ′(x ) 是以T 为周期的函数; ③p :f (x ) 在区间(-∞,+∞) 上为增函数,q :f ′(x ) >0在(-∞,+∞) 恒成立;

④p :f (x ) 在x 0处取得极值,q :f ′(x 0) =0. 由以上条件中,能使p ⇒q 成立的序号为

A .①②③ B .①②④ C .①③④ D .②③④

解析 由f (-x ) =-f (x ) ,得-f ′(-x ) =-f ′(x ) .

∴f ′(-x ) =f ′(x ) .即f ′(x ) 是偶函数①正确.

易知②正确.③不正确.

根据f ′(x 0) =0是可导函数f (x ) 在x =x 0取得极值的必要不充分条件,∴④正确.

答案 B

6.由直线x =-π3x π3

y =0与曲线y =cos x 所围成的封闭图形的面积为________. 解析 根据定积分的定义,所围成的封闭图形的面积为

答案 3

7.函数f (x ) =ax -x (a >0) 的单调递减区间是________.

解析 由ax -x 2

≥0(a >0) ,解得0≤x ≤a ,即函数f (x ) 的定义域为[0,a ],f ′(x ) =3ax -4x 2

2ax -x -2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -3a 4ax -x . 由f ′(x ) ≤0,解得x ≥3a 4,因此f (x ) 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤3a 4a . 答案 ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤3a 4,a 8.已知函数f (x ) =x (x -1)(x -2)(x -3)(x -4)(x -5) ,则f ′(0)=________.

解析 f ′(x ) =(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)(x -5) +x [(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)(x -5)]′, ∴f ′(0)=(-1) ³(-2) ³(-3) ³(-4) ³(-5) =-120.

答案 -120

9.已知f (x ) =x ln x ,g (x ) =x 3+ax 2-x +2.

(1)求函数f (x ) 的单调区间;

(2)求f (x ) 在区间[t ,t +2](t >0) 上的最小值;

(3)对一切的x ∈(0,+∞) ,2f (x ) <g ′(x ) +2恒成立,求实数a 的取值范围.

解 (1)f (x ) 的定义域为(0,+∞) ,

f ′(x ) =ln x +1,

令f ′(x ) <0,得0<x <1e ;

令f ′(x ) >0,得x >1e .

∴f (x ) 的递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1e ,递增区间为⎝ ⎛⎭

⎪⎫1e ,+∞. (2)(ⅰ) 当0<t <t +2<1e

(ⅱ) 当0<t <1e t +2,即0<t <1e ,

由(1)知,f (x ) min =f ⎝⎭

1e =-1e (ⅲ) 当1e ≤t <t +2,即t ≥1e

f (x ) 在区间[t ,t +2]上递增,f (x ) min =f (t ) =t ln t .

因此f (x ) min =⎩⎪⎨⎪⎧ -1e ,0<t <1e ,

t ln t ,t ≥1e .

(3)2f (x ) <g ′(x ) +2,得2x ln x ≤3x 2+2ax +1.

∵x >0,∴a ≥ln x -32-12x 设h (x ) =ln x -32x -12x ,

则h ′(x ) =1x 3212x (x -1)(3x +1)2x 令h ′(x ) =0,得x =1,x =-13(舍) .

当0<x <1时,h ′(x ) >0,h (x ) 在(0,1)上单调递增;

当x >1时,h ′(x ) <0,h (x ) 在(1,+∞) 上单调递减.

∴当x =1时,h (x ) 取得最大值h (x ) max =-2.

∴a ≥-2.

∴a 的取值范围是[-2,+∞) .

10.如图,抛物线E :y 2=4x 的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A . 点C

在抛物线E 上,以C 为圆心,|CO |为半径作圆,设圆C 与准线l 交于不同的两点M ,N .

(1)若点C 的纵坐标为2,求|MN |;

(2)若|AF |2

=|AM |²|AN |,求圆C 的半径.

1.解:(1)抛物线y 2=4x 的准线l 的方程为x =-1.

由点C 的纵坐标为2,得点C 的坐标为(1,2) ,

所以点C 到准线l 的距离d =2. 又|CO |5,

所以|MN |=|CO |2-d 2=25-4=2.(4分) (2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204,y 0,则圆C 的方程为⎝ ⎛⎭

x -y 2042+(y -y 0) 2y 4016+y 20, 即x 2-y 202

+y 2

-2y 0y =0. 由x =-1,得y 2-2y 0y +1+y 202

=0.(6分) 设M (-1,y 1) ,N (-1,y 2) ,则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ=4y 2

0-4⎝ ⎛⎭⎪⎫1+y 2

02=2y 20-4>0,y 1y 2

=y 2

021. 由|AF |2=|AM |²|AN |,得|y 1y 2|=4,(8分)

所以y 2021=4,解得y 0=±6,此时Δ>0. 所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫326或⎝ ⎛⎭

⎪⎫326,从而|CO |2=334,|CO |=

332C

的半径为332分)