别样的美丽——错误
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别样的美丽——错误

——数学课堂上“错误”资源的有效利用

单位:伊川县文正中学 学科:中学数学

姓名:申海云

二零一四年十月

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别样的美丽——错误

——数学课堂上“错误”资源的有效利用

[内容摘要]

错误是学生学习过程中的相伴产物,是一种具有特殊教育作用的学习资源, 是一种宝贵的教学资源。然而在实际教学中许多教师为追求课堂的“完美”往往不顾“错误”这个生成资源,长此以往,这样的教学势必会扑灭学生思维的火花。因此,作为教师,我们要善于利用课前预设“错误”资源,捕捉课中非预设“错误”资源,课后反思错误资源,将学生的学习错误当作一种教育的契机,让课堂因“错误”而更加美丽,更加精彩,让“错误”成为启迪思维的“催化剂”,让“错误”成为课堂教学一道美丽的“风景”。

[关键词] 预设错误 捕捉非预设错误 反思错误

《数学课程标准》指出:“在数学教学过程中,‘错误’往往是教师在教学中和学生在学习过程中,出现违反教学结论或数学方法的现象。”在数学课堂上,每天都有学生在出错。大多数教师一味的追求“完美”,却忽略了另一种“别样的美丽”——“错误”。记得教育专家成尚荣说过,“我们的教室就是一个允许学生出错的地方。出错了,课程才能生成,也正是在‘出错’和‘改错’的探究过程中,课堂才是最活的,教学才是最美的,学生的生命才是最有价值的”。事实上,

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对于教师而言,学生的错误是一笔丰厚的“财富”,这些“财富”能让你追溯学生的思路,从中看到智慧的火花;这些“财富”能让你反思你的教学,从中受益;这些“财富”能让你看到学生的欠缺,帮助他们弥补;这些“财富”也能让你看到学生的可爱,会心地一笑。因此,我们要用资源的眼光看待“错误”,善待学生的“错误”,分析学生形成“错误”的原因,帮助学生纠正“错误”,让学生在纠错中感悟道理,体会情感,领悟方法,发展思维,促进学生的全面发展。让“错误”变成宝贵的教学资源,让“错误”精彩美丽起来。那么,如何认识和对待教学过程中凸显出来的“错误”呢?我有以下几点看法:

一、 课前预设错误,彰显课堂魅力

英国心理学家贝恩布里奇说:“错误人皆有之,作为教师不利用是不可原谅的。”是的,“问渠哪得清如许,为有源头活水来”。我们不仅要宽容错误,更要挖掘利用好学生的错误资源,学生对新知理解常常会遇到一些常见的、易犯的错误,尽管老师反复讲解,多次强调,总有些学生不能彻底改正、往往一错再错。这些,教师在备课时,通过认真钻研教材,根据学生的年龄特点,凭借以往的教学经验,可以事先预测出学生学习某个知识点时可能发生的错误,还可以有意搜集或编制一些学生易犯而又意识不到错误的问题加以预设,主动诱发错误,使学生的思维产生错与对之间的交叉冲突和悬念,促进学生积极主动地去思考、质疑、辨析、发现,找出致误原因,使学生加深对知识的深刻理解,最终不再犯类似的错误。因此,教师还应在备课时,

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主动出击,预设课堂上的“错误”资源,在课堂教学中运用形形色色的“错误”资源,让学生在思索、讨论中展现多姿多彩的课堂。

1、凸显错误,防患于未然

“数学学习与学生的身心发展”研究表明:每个学生都有分析、解决问题和创造的潜能,都有一种与生俱来的把自己当成探索者、研究者、发现者的本能。在数学教学活动中,学生是活动的主体,而学生犯错的过程就是一种尝试和创新的过程。在课堂教学过程中,如果我们能故意制造一些美丽的错误,恰当设置一些美丽的“陷阱”, 让学生产生强烈的纠错欲望,让学生在“尝试错误”的过程中比较、判断、思考、甚至引发争议。这样,让学生走进“陷阱”,又从“陷阱”里走出来,继续去寻找新的答案。那么课堂就会展现出它真实、精彩的魅力。

【案例】学完《有理数的大小比较》,出示比较:“–1与–0.01”让大家明白必须要在“两个负数”的前提下才能利用绝对值比较大小。出示“两个负数,绝对值大的反而小。”让学生先思考,再用数轴来验证,使之理解其中的逻辑关系。这样,老师主动出示题目显示错误,让学生在议错、辨错,进一步理解知识,既控制了可能发生的错误,防患于未然,把错误消灭在萌芽状态,又提高了学生分析和解决问题的能力。

2、启发诱导错误,引起学生注意、深思

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数学家波利亚说过:“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素,发现的方法就是试错的方法。” 所以我们教师应在易错的环节上设置“陷阱”,诱使学生陷入歧途,制造思维冲突,诱发灵感,产生真知,同时也可培养学生的试错能力。这样既可充分暴露学生思维的薄弱环节,又能使学生深刻地有突破性地认识到错误所在,有利于自诊自治,提高对错误的免疫力。

【案例】在 △ABC 中,a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 所对的边,其中a=3,b=4,求c 的值。很多学生答道c 的值为5。此时教师不加以评价,试图让学生自己从圈套里走出来。此时一位学生站起来答道。

生1:三角形不是直角三角形,不能用勾股定理。

师:若此三角形是直角三角形即当△ABC 是直角三角形时,c 的值是多少?

(这次全班的结果都是5。此时学生很显然是受到前面思维定势的影响。教师没有评价,让学生继续思考。)

生2:不对,如果△ABC 是直角三角形时,c 应该是5或。

师:那你是怎样得到的?

生2:当c 是斜边时,c=5;当b 是斜边时,c=7,而a 不可能是斜边。

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在上面的过程中学生在落入误区和走出误区的过程中,吃一堑长一智,思维的严谨性受到了锻炼。于是教师继续追问:如果△ABC 是锐角三角形,求c 的取值范围?

(几分钟过后,一位学生举手回答。)

生3:c<5,因为∠C 是锐角,所以它所对的边c 应小于∠C 是直角时所对的边5。

(听了这位同学的回答,又有几位学生举手)

生4:不对,应该0<c<5,因为边长是正数。

生5:老师,不对,应该是1<c<5,因为根据三角形三边关系性质,c 的取值范围是1<c<7,结果应该是它们的公共解。(其他学生点头表示赞同)。

这时全班学生都已误入了老师所设的“陷阱”,因为他们只考虑了∠C 是锐角,而没有考虑∠A 与∠B 是锐角。

师:由前面可知当c=5时,△ABC 是直角三角形,而7 也在1<c<5在范围内。

受到老师的启发,同学的学习热情就更高了,思考就更加投入了。 生6:1<c<5能保证∠C 是锐角,而不能保证∠A 与∠B 是锐角。

7 生7:答案是7<c<5。若∠C 是锐角,求得1<c<5, 若∠B 是锐角,则∠A 也是锐角,求得7<c<7,结果7<c<5是它们的公共解。

通过这道题的解答,使学生走进了“陷阱”,又从“陷阱”里一步一步地走了出来,继续去寻找新的答案,真是“山穷水复疑无路,柳暗花明又一村”,同时也应当指出,如果置学生错解思路的闪光点于不顾,急于亮出教师预先设计好的思路而另起炉灶,那么不仅错过了培养学生的试错能力的机会,而且容易挫伤学生的自尊心、自信心。通过“诱导错误”,不仅使学生对知识理解的更加深刻,学生在犯错、改错的探讨过程中完善自己的思路,培养了学生的质疑能力,对数学思想方法也掌握的更加灵活。

3、故意出错,启发强烈质疑

居里夫人上小学时,一次老师给同学们讲:在一只装满水的杯子里放入一颗小石子水就会溢出来,但是放入一条金鱼,水却不会溢出来。放学后,居里夫人觉得老师的结论值得怀疑,就亲自动手实验,结果满杯的水溢了出来。老师的一次故意“出错”培养了居里夫人善于质疑的优秀学习品质!其实,学生获取数学知识的过程实际上就是不断探究的过程,通过教师的主动呈现错误,让学生的心理泛起了涟波,引起了学生的好奇心,课堂上老师有意“出错”能有效地调节教学气氛,让平淡无奇的课堂变得更具诱惑力。 【案例】化简:

3221x x -+-

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并请两位学生板演,其中一位学生通过通分求出正确的结果,而另一位学生解的过程是: 原式=3(x-1)+2(2-x ) =3x-3+4-2x=x+1当教师点评这个学生的解法时,引来了一些嘲笑,于是教师立即问:错在哪儿呢?学生回答道:“把方程变形(去分母)搬到解计算题上了,结果丢了分母。”这个做错的学生面红耳赤,低下了头。但这时教师来了一个“顺水推舟,将错就错”:刚才这位同学把计算题当作方程来解,虽然解法错了,但却给我们一个启示,若能将该题去掉分母来解,其“解法”确实简洁明快,因此我们能否考虑利用解方程的方法来解它呢?由此一个新颖的解法也出来了。

解: 设 3

221x x -+-=A 去分母得:3(x-1)+2(2-x)=6A

去括号得:3x-3+4-2x=6A

合并同类项得:x+1=6A

解得:A= 6

1+x 。 所以此题的结果是

61+x 。(这位做错题目的学生终于笑了。) 这时学生都赞叹这种用方程的解法很有创意,同时这种新颖的解法也唤回了这位学生的自信。这种化腐朽为神奇,产生了意想不到的效果。老师这样的故意出错,把学生引入矛盾的困惑境地,使他们对自己的认知产生怀疑、自主反思,从错误中吸取教训,从失败中找出

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原因,从而让学生在纠正错误中开启智慧,迈入知识的殿堂。

二、 课中捕捉非预设错误,塑造别样课堂

教学过程是动态的师生互动、共同发展的过程。因此,不仅备课需预设“错误”资源,在互动中,又要善于捕捉“错误”资源,利用教学中新的有价值的“非预设错误资源”,从而让学生的学习更富有生命活力。因此,教师要善于转换角度,悦纳课堂“错误”;善于倾听,发现“错误”价值;善于小题大做,匠心处理“错误”;善于延时评价,自主探究“错误”,折射出灿烂的光芒。

1、宽容“错误”, 唤醒思维

当学生在课堂上出现错误或产生问题时,作为教师,首先要本着以人为本的主体教育观,尊重、理解、宽容出错的学生,不斥责、挖苦学生。教师要从学生的视角看待这些错误,让学生坦诚自己的想法,耐心倾听他们的表述,不轻易否定学生的答案,错了允许重答,答得不完整允许再想,不同的意见允许争论。学生在学习中产生的错误,是一种来源于学生学习活动本身, 具有特殊教育作用的学习材料。“错误”作为一种教学资源,只要合理利用,就也能较好地促进学生情感的发展。对激发学生的学习兴趣,唤起学生的求知欲具有特殊的作用。这样学生在教师的正确引导及鼓励下,在错误面前敢于正视错误,挑战错误,增强战胜困难、学好数学的信心。

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【案例】一栋楼房每上一层要走22级台阶,到小红家一共要走88级台阶,则小红家在楼房的第几层?

一开始学生不假思索异口同声地说:“5层”。我思索了一下,如果我硬要把我的方法教给学生,学生未必就学得好,我还教得累,倒不如把难题交给他们自己去解决。我挑兴得说真的是“5层”吗?谁能想方法证明自己的答案是正确的。结果有的拿纸条折,有的画图分析,还有的列表,通过各种形式探究活动,寻找错误原因,得出解决这类问题的方法,使学生的潜能汇聚在一起发挥,智慧汇拢到一处碰撞。

2、经历“错误”,活跃思维

古人云:人非圣贤,熟能无过。在课堂教学中,学生对知识的理解会出现各种各样的错误,有的老师在学生出现错误时,采取“马上制止”或“立即纠正”的方法,但这样做却不能达到防止错误的目的,也忽视了错误的价值。《数学新课标准》指出:数学课程的内容应该是现实的、有意义的、富有挑战性的。以学生的真实错误为教学内容,让学生通过 “尝试错误”的活动,把解决问题的主动权还给学生,引导他们比较、思辨。让他们自己明确产生错误的原因,知道改正的方法,体验知识的内在联系与区别,形成系统,避免以后不再犯类似的错误。

【案例】在学习完“乘法分配律”之后,我出示练习(1)–25+75×4

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(2)–25×75×4,学生练习后出现了这样两种情况的错误:

甲——–25+75×4=4×(–25+75)

乙——–25×75×4=4×(–25+75)

出了这样的错误,他们还觉得自己挺有道理。如果我们只是简单的直接告诉他们,效果显然是很不理想的,因为这样错误往往还会再三地出现在我们所信任的好同学身上。为此,我抓住契机,巧妙地设定了甲、乙、丙(丙为正确方)三方,开展辩论赛,看哪方能胜出。我让他们同时准备一段时间,用有力的数学语言、数学规律作为证据,证明自己的同时也反驳他方。同学们跃跃欲试、斗志昂扬,他们开展了激烈而深入的思考辨析活动。从后面的交流思辩中我们便可体验到“不经历风雨,怎么见彩虹”的诗意哲理。如反驳甲、乙的丙方认为:乘法分配律是适用于两个数的和或差与另一个数相乘的情境,他们又从侧面或进行了更有力的论证:

A ——(–4)×(25+75)=(–4)×25+(–4)×75与(1)、(2)的式子不一样

B ——直接计算(1)、(2)的式子我们也能证明甲乙两方方法是不对的;

C ——(1)式子只能用一般计算方法,它不符合用乘法分配律的条件,(2)式子这题可以简便运算–25×75×4=(–25×4)×75……

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可见,让学生经历错误又何妨?学习是从问题开始的,甚至是从错误开始的。出错了,课程才能生成,就是在这发自内在“更错”欲望的驱使下的探究活动,才更能体现课堂的鲜活性、生成性。

3、修改“错误”, 拓宽思维

《数学新课程标准》指出:“人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上获得不同的发展。”数学教学应最大限度地满足每一个学生的需要,最大限度地开启每一个学生的智慧潜能。而真实的课堂教学,学生不可能不出现错误,就因为有了这种、那种错误,我们教师就要考虑如何利用好这些“错误”化弊为利,我们也可以经常针对学生的错误进行“将错就错”的训练,这种“化错为正”的方法,引导学生从正、反不同角度修改错误。这不仅能使不同层次的学生发现错误,提高学习的积极性,而且可以扬长补短,拓宽学生的思维,训练了学生思维的灵活性和创造性。

【案例】 讲授同底数幂的乘法时,对于如何计算 2a 3·3a 2 ,学生的解答有:①2a 3·3a 2 = 5a5 ,②2a 3·3a 2 = 6a5 ,③2a 3·3a 2 = 6a6……究竟谁对谁错?通过学生小组合作,交流探究,学生很快“统一”了答案,②是正确的。这时,我“将错就错”,因势利导:如果是其他算式,你会怎样做呢?学生的思维唤醒了,打开了,一下就做对了。这样的“将错就错”,举一反三,既丰富了知识,又拓展了思路,学生求异思维能力得到了提高。这样的“将错就错”,不仅唤起了学生解

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决问题的欲望,而且激发了学生的探究兴趣,培养了学生的问题意识,拓展思路,加深了对知识本质的理解,有效地促进了知识点间的融会贯通。这样的“将错就错”,使我们的教学环节更加精彩,教学过程更加真实。

三、课后反思错误,共同构建成长课堂

杜威曾说过:“失败是有教导性的,真正懂得思考的人,从失败和成功中学得一样多!”反思是一种习惯和意识,不断的反思,才会不断地进步。“教学相长”提醒我们要学会反思错误,学生学会反思,完善认知结构:教师学会反思,促进专业化成长。师生在课堂的反思中共同成长。

1. 学生反思,培养思维品质

在实际教学中,教师应帮助学生树立纠错追因意识,把学生的错误当作宝贵的教学资源,引导学生反思一下错题错在哪里?为什么错?然后让学生有针对性的纠错,让错误发挥最大的育人功效。我要求每位学生都准备一本“错题集”,让学生将平时做错的题目连同自己的错解都一起摘录到这本笔记本上,并且在某些题目后附上自己做错的原因。刚开始总是会忘记,感到厌烦,在经过督促检查、评比展览等措施后,大部分同学不仅能够做到自觉去摘录,而且还加了自己的特色,比如在笔记本的页眉、页脚加上一些名言警句;摘抄一些数学故事;写一些错误日记。同时,教师还可以定期从学生的“错题集”中选出有代表性的错题,在课堂上进行剖析,同时让学生的解题思维

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充分暴露出来,然后,尽量详尽地分析错误原因。在学生常犯错误的关键之处,经常适时地引导学生去反思、回顾,这样不仅可以培养学生批判性数学思维品质,又可以完善认知结构,形成系统。

【案例】一位学生就在《错解解析本》中写道“„„当时老师讲过a 2-b 2=(a + b)(a-b)后,让我们自己分解x 4-y 4。很快大家就做完了。老师一边巡视一边督促检查。但在最后教师宣布只有6人做正确时,我们都感到非常吃惊 。我们把x 4-y 4分解为(x2+y2)(x2-y 2) 错在哪里呢? 做正确同学的答案是(x2+y2)(x + y)(x-y),两相对照,我们发现原来x 2-y 2还可以继续分解。于是,分解因式要进行到每个因式都不能再分解为止给每个同学都留下了深刻的印象。

2. 教师反思,促进专业化成长

课堂上,有些学生的错误是你根本预料不到的,有些错误在课堂上来不及处理的,在课后要静静地反思,教师要根据学生在课堂中学习新知所表现出来的错误,审视自己,进行反思,发现不足之处,采取及时有效的方法进行调整,修正自身的不足之处。课后,为了充分发挥“错误”在教学中的积极作用,我及时对学生理解新知识过程中,出现的典型错误及错误产生的原因、反馈矫正的对策进行搜集、整理、记录。为了巩固理解新知识,我将搜集的典型错例制作成选择题、连线题、问答题、判断题等多种形式的题型进行对比练习、强化训练,还把典型错例课前准备题或成为新课的引入,这样为学生更好理解新

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知识作好铺垫。同时,通过写教后小记等形式获得反馈信息,进而在以后的教学过程中不断优化反馈策略。反思是为了更好地解决教学中的失误寻找存在的问题,发现留下的遗憾,是教师自我教育、成长的最佳途径。

错中有序,错中存真。学生的错误虽有不可预见性,但却是学生思维的真实反映,其间蕴涵着宝贵的“亮点”。教师应以真诚的态度去倾听牢固树立“错误是资源”的意识,正确地对待错误,独具慧眼并及时捕捉稍纵即逝的错误并巧妙运用于教学活动中,让其发挥出应有的价值,让学生从错误中获得更多更完美的知识。“错误”也是一种美丽,错误也是一种成功。课堂正是因为有了“错误”才变得更加精彩,我们要让“错误”美丽起来。最终,让错误成为课堂教学的一个亮点,为数学教学添上一道亮丽的风景。

[参考文献]:

[1] 薛法根 《错误的价值》 江苏教育 2007.2B

[2] 陈宇 《失败也有营养》 江苏教育 2008.3B . P462

[3] 叶澜 《重建课堂教学过程观》 教育研究 2002(10)

[4]《数学新课程标准及解读》 北京师范大学出版社2003.2

[5]成尚荣 《教室,一个应允许出错的地方》 江苏教育研究2002.12