山重水复疑无路柳暗花明又一村教师(导数)
初一 议论文 2795字 63人浏览 01老

山重水复疑无路柳暗花明又一村

——高考导数压轴题的破解

大同县一中 田有利

应用举例

1.(2010年全国新课标理) 设函数2() 1x f x e x ax =---。

(1) 若0a =,求() f x 的单调区间;

(2) 若当0x ≥时() 0f x ≥,求a 的取值范围

解:(II )当0x =时,() 0f x =,对任意实数a, 均在() 0f x ≥;

当0x >时,() 0f x ≥等价于21

x x a x --≤

令()21x x g x x --=(x>0),则322() x x

x x g x x -++'=,令()()220x x h x x x x e e =-++>,则()1x x

h x x e e '=-+,()0x h x x e ''=>, 知()h x '在()0, +∞上为增函数,()()00h x h ''>=;知()h x 在()0, +∞上为增函数,

()()00h x h >=;()0g x '∴>,g(x)在()0, +∞上为增函数。 由洛必达法则知,200011222lim lim lim x x x x x x x x x

+++→→→--===, 故12a ≤ 综上,知a 的取值范围为1, 2⎛

⎫-∞ ⎪⎝⎭

。 2.(2011年全国新课标理)已知函数ln () 1a x b f x x x =++,曲线() y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题,其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型. 这类题目容易让学生想到用分离参数的方法,一部分题用这种方法很凑效,另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决,高中阶段解决它只有华山一条路——分类讨论和假设反证的方法. 虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解,但这种方法往往讨论多样、过于繁杂,学生掌

握起来非常困难. 研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了00”型的式子,而这就是大学数学中的不定式问题,解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.

230x y +-=。

(Ⅰ)求a 、b 的值;

(Ⅱ)如果当0x >,且1x ≠时,ln () 1x k f x x x

>

+-,求k 的取值范围。 解:(II )由题设可得,当0, 1x x >≠时,k<22ln 11x x x

+-恒成立。 令g (x)= 22ln 11x x x +-(0, 1x x >≠), 则()()()22221ln 121x x x g x x +-+'=⋅-, 再令()()221ln 1h x x x x =+-+(0, 1x x >≠) ,则()12ln h x x x x x '=+-,()212ln 1h x x x ''=+-,易知()212ln 1h x x x

''=+-在()0, +∞上为增函数,且()10h ''=;故当(0,1)x ∈时,()0h x ''<,当x ∈(1,+∞)时,()0h x ''>;

∴()h x '在()0,1上为减函数,在()1, +∞上为增函数;故()h x '>()1h '=0

∴()h x 在()0, +∞上为增函数

()1h =0

∴当(0,1)x ∈时,()0h x <,当x ∈(1,+∞)时,()0h x >

∴当(0,1)x ∈时,()0g x '<,当x ∈(1,+∞)时,()0g x '>

∴()g x 在()0,1上为减函数,在()1, +∞上为增函数

由洛必达法则知()2111

ln 1ln 12121210221lim lim lim x x x x x x g x x x →→→+⎛⎫=+=+=⨯-+= ⎪--⎝⎭ ∴0k ≤,即k 的取值范围为(-∞,0]

3.2008全国2理科

设函数sin () 2cos x f x x =+. (Ⅰ)求() f x 的单调区间; (Ⅱ)如果对任何0x ≥,都有() f x ax ≤,求a 的取值范围.

相关题型练习 4. (21)(本小题满分12分)

已知函数b ax x x f ++=2) (,) () (d cx e x g x

+=若曲线) (x f y =和曲线) (x g y =都过点) 2, 0(P ,且在点P 处有相同的切线24+=x y . (Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值;

(Ⅱ)若x ≥-2时,) () (x kg x f ≤,求k 的取值范围. (新课标全国12013年) 5.2006年全国2理

解:(Ⅰ)略 (Ⅱ)应用洛必达法则和导数 sin () 2cos x f x ax x =≤+ 若0x =,则a R ∈; 若0x >,则sin 2cos x ax x

≤+等价于sin (2cos ) x a x x ≥+,即sin () (2cos ) x g x x x =+ 则222cos 2sin sin cos '() (2cos )

x x x x x x g x x x --+=+. 记() 2cos 2sin sin cos h x x x x x x x =--+,

2'() 2cos 2sin 2cos cos 21

2sin cos 212sin 2sin 2sin (sin) h x x x x x x x x x x x x x x x =---+=--+=-=- 因此,当(0,) x π∈时,'() 0h x <,() h x 在(0,) π上单调递减,且(0)0h =,故' () 0g x <,所以() g x 在(0,) π上单调递减,

而000sin cos 1lim () lim lim (2cos ) 2+cossin 3

x x x x x g x x x x x x →→→===+-. 另一方面,当[, ) x π∈+∞时,sin 111() (2cos ) 3x g x x x x π=≤≤<+,因此13a ≥. 设函数f (x ) =(x +1)ln(x +1) ,若对所有的x ≥0,都有f (x )≥ax 成立,求实数a 的取值范围.

6.2006全国1理

7. 2007全国1理

8.2010全国大纲理

已知函数()11ax x f x e x -+=-. (Ⅰ)设0a >,讨论()y f x =的单调性; (Ⅱ)若对任意

()0,1x ∈恒有()1f x >,求a 的取值范围. 设函数() e e x x f x -=-. (Ⅰ)证明:() f x 的导数() 2f x '≥; (Ⅱ)若对所有0x ≥都有() f x ax ≥,求a 的取值范围. 设函数() 1x f x e -=-. (Ⅰ)证明:当1x >-时,() 1x f x x ≥+; (Ⅱ)设当0x ≥时,() 1x f x ax ≤+,求a 的取值范围.