线性代数与概率统计作业 -枫叶情文明
初二 记叙文 5578字 52人浏览 随风而去162

一.问答题

1.叙述n 阶行列式的余子式和代数余子式的定义,并写出二者之间的关系。

答:用n 2个元素a ij (i ,j=1,2,3,„,n )组成的记号1111

n n nn a a a a ⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪

⎝⎭ 称为n 阶行列式。

D =1111

n n nn a a a a ⎛⎫

⎪ ⎪

⎝⎭ =22

23232

33311112

3(1) n n n n nn

a a a a a a a a a a +-

+21232313331212

13(1) n n n n nn

a a a a a a a a a a +-

+ +21222, 131323, 1111

2, 1

(1) n n n n

n n n n a a a a a a a a a a --+--

这里22

2323233311

11

2

3(1) n

n

n n nn a a a a a a a a a a +-

2123231333121213(1) n

n n n nn

a a a a a a a a a +- ,„,21222, 1

31323, 1

1112, 1(1) n n n n

n n n n a a a a a a a a a a --+-

分别被称为元素a 11,a 12, „,a 1n 的余子式记做M 11,M 12,„,M 1n ; 而

32333111123(1) n

n n n nn a a a a a a +- 2223232333111123(1) n n n n nn a a a a a a a a a a +- ,31333121213(1) n n n n nn a a a a a a a +-

21232313331212131) n n n n nn a a a a a a a a a a +- ,„,31323, 1112, 1(1) n

n

n n n a a a a a a a a a -

-+-- 21222, 131323, 11112, 1(1) n n n n n n n n a a a a a a a a a a --+-

- 分别被称为元素a 11,a 12, „,a 1n 的代数余子式, 记做A 11,A 12,„,A 1n

余子式与代数余子式的关系是A ij =(-1)i+jM IJ

2.叙述矩阵的秩的定义。

答:定义:设A 为m ⨯n 矩阵。如果A 中不为零的子式最高阶为r ,即存在r 阶子式不为零,而任何r+1阶子式皆为零,则称r 为矩阵A 的秩,记作(秩)=r 或R (A )=r

3.齐次线性方程组的基础解系是什么?

答:定义:设T 是111122121122221122000

n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩

的所有解的集合,若T 中存在一组非零解12, , , , s ννν 满足 (1)12, , , , s ννν 线性无关;

(2)任意T ν∈,都可用12, , , , s ννν 线性表出

则称12, , , , s ννν 是此方程组的一个基础解系

4.试写出条件概率的定义。

答:条件概率的定义: 在事件B 发生的条件下事件A 发生的概率定义为

)

() () |(B P AB P B A P = (0) (>B P ).

5.试写出全概率公式和贝叶斯公式这两个定理。

答:定理1(全概率公式)设事件12, , , n A A A 构成完备事件组,且() 0(1, 2, , ) i P A i n >= ,则对任意事件B ,有 1() () (|)

n i i i P B P A P B A ==∑.

特别地,当n=2时,全概率公式为

() () (|)

() (|)

P B P A P B A P A B A =+.

二.填空题

1.行列式111111111

D =-=--.

2.设, A B 均为3阶矩阵,且||||3A B ==-,则2T AB -=。

3.如果齐次线性方程组111122121122221122000

n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的系数行列式||0D ≠,那么它有 且只有零 解. 4.用消元法解线性方程组b AX =,其增广矩阵经初等行变换后, 化为阶梯阵

15310234000000s t -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦

, 则 (1)当s 且0t ≠时, b AX =无解;

(2)当s t , b AX =有无穷多解;

(3) 是任意实数时 , b AX = 有唯一解。

5.设有N 件产品,其中有M 件次品,若从N 件产品中任意抽取n 件,则抽到的n 件中检有() m m M ≤件次品的概率为P =m n m M N M n N

C C P C --=。 6.随机变量数学期望的性质有

(1)() E aX b +=(a ,b 为常数);

(2)设有两个任意的随机变量X ,Y ,它们的期望(), () E X E Y 存在,则有() E X Y +=() () E X E Y +。

(3)设12, X X 是的两个随机变量,且各自的期望均存在,则有

1212() () () E X X E X E X =。

7.设12(, , ) n X X X 为总体X 的一个容量为n 的样本,则称统计量

(1)X =(X 1+X2+„+Xn )/n=11n

i i X X n ==∑为样本均值; (2)2S =2

211() n i i S X X n ==-∑为样本方差。 8.由概率的加法公式知,

(1)对任意两个事件A ,B ,有

() P A B +=() () () P A P B P AB +-;

(2)如果事件A ,B 互不相容,则

() P A B +=() () P A P B +;

三.计算题

1.计算行列式

2

11142112011029998

1

2

1

2

---.

解:原行列式可化为:D=DT =1112 1124

- 98

99102201- 21

2

1

-=1112 1124-

100

100100200- 21

21

-+1112 1124-

21

21

- 2

121

-因为1112 1124

- 21

21-

2

1

21

-中第三四列对应成比例,

所以行列式D=1112 1

12

4-

100

100100200- 2121

-=1001112 1124

- 1

112

- 21

21-34r r +→=1001112 0124

011

2-

1

1

2

1

-=

100﹡(-1)4+1﹡2124 1-12 121+100﹡(-1)﹡(-1)4+4112 124 1-12=100﹡(-2)124 1-12 1

21

322r r +→=100﹡(-2)104 1-32 1

01=100﹡(-2)﹡(-1)2+2﹡314 11=-1800

2.设1201211402011431A ⎡⎤⎢⎥

--⎢⎥=⎢⎥

--⎢⎥⎣⎦,11210112B ⎡⎤

⎥-⎢⎥=⎢

⎢⎥-⎣⎦

,求() I A B -。

解:() I A -=1000010000100001⎡⎤⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-1201211402011431⎡

⎤⎢⎥

--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦=020

1221

4021

1143

0--⎡⎤⎢

⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ () I A B -=0201221402111430--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦112

10112⎡⎤⎢⎥

-⎢⎥⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦=54255390-⎡⎤⎢

⎥-⎢⎥⎢

-⎢⎥-⎣⎦

3.求矩阵253215854

31742041123A -⎡⎤⎢⎥-⎢

⎥=⎢⎥-⎢

⎥-⎣⎦

的秩。 解:

2532158543174204112

3A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢

-⎣⎦→(r13r ↔)=125341125854-⎡⎢-⎢⎢-⎢-⎣

4251 1-5-8-7- 13542242

3130

009521027156

30271563-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦→(r2-5r1)= 1253214112358543-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦4

2011-5-277- 135422

6-2 31300

0952102715630271563-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦→(231r ,r3-2r1,r4-4r1)=253214112358543-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢

-⎣⎦0001 27

9

97- 15-5-5-46-2-2-2 311000

9

521027

1563027

1563-⎤⎥--⎥⎥--⎥--⎦→(431r ) =1253214112

358543-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦

0001 9997- 5-5-5-42-2-2-2 11100

0952102715630271563-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥

--⎣⎦→(r3-r2,r4-r2)=174

2

0095210000000

000-⎡⎤

⎢⎥--⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

所以,矩阵的秩为2

4.解齐次线性方程组12341234

1234123424023450413140750x x x x x x x x x x x x x x x x --++=⎧⎪+--=⎪⎨--+=⎪⎪--+=⎩。

解:对系数矩阵施以初等变换:

A =121423451413141175--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦→121401230612180369--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦→1214012300000000--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→1052012300000000--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→1052012300000000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

与原方程组同解的方程组为:

13423452030

x x x x x x -+=⎧⎨+-=⎩ 所以:方程组的一般解为

1342

345223x x x x x x =+⎧⎨=--⎩(其中,34, x x 为自由未知量) 5.试问λ取何值时,齐次线性方程组1232312

330 2020x x x x x x x x λ++=⎧⎪-=⎨⎪--=⎩有非零解?

解:系数行列式为:

3

111211202104

6021112

021008λλλ-----=+=----+ 所以,当8-=λ时,该齐次线性方程组有非零解.

6.设有甲、乙两名射手,他们每次射击命中目标的概率分别是0。8和0。7。现两人同时向同一目标射击一次,试求:

(1)目标被命中的概率;

(2)若已知目标被命中,则它是甲命中的概率是多少?

解:设A={甲命中目标},B={乙命中目标},C={目标被命中}。则C=A+B,在这个问题中,A 与B 相互独立,而() 0.8, () 0.7P A P B ==,那么

(1)目标被命中的概率利用与的相互独立性,有

() 1() 1() 1()

1() ()

10.20.30.94P C P P A B P P P =-=-⋃=-=-=-⨯=

(2)在已知目标被命中条件下,则它是甲命中的概率为

() () 0.840(|) () () 0.9447

P AC P A P A C P C P C ====.

7.一袋中有m 个白球,n 个黑球,无放回地抽取两次,每次取一球,求:

(1)在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的条件概率;

(2)在第一次取到黑球的条件下,第二次取到白球的条件概率。

解:用A 表示“第一次取到白球”,B 表示“第二次取到白球”。

(1)袋中原有m+n个球,其中m 个白球。第一次取到白球后,袋中还有m+n-1球,其中m-1个为白球。故

1(|) 1

m P B A m n -=+-; (2)袋中原有m+n个球,其中m 个白球,第一次取到黑球后,袋中还有m+n-1个球,其中m 个为白球。故

(|) 1m P B m n =

+-.

8.某工厂生产一批商品,其中一等品点

12,每件一等品获利3元;二等品占13,每件二等品获利1元;次品占16

,每件次品亏损2元。求任取1件商品获利X 的数学期望() E X 与方差() D X 。 解:11131(2) 1.5236EX =⨯+⨯+-⨯= 3

2

21() [()](()) k k k D X E X E X X E X P ==-=-∑ 222311171() () () 222326=⨯+-⨯+-⨯134

=

9.设某仪器总长度X

求:(1)12() E X X +;(2)12() E X X ;(3)12() D X X +。

解:因为 EX 1=2×0.3+4×0.5+12×0.2=5

EX 2=6×0.4+7×0.6=6.6

(1)E (X1+X2)=E (X1)+E(X2)=5+6.6=11.6

(2)E (X1X 2)=E (X1)E(X2)=5⨯6.6=33

(3)3

2

211111() [()](()) k k k D X E X E X X E X P ==-=-∑ 222(3) 0. 3(1) 0. 5(7) 0. 213=-⋅+-⋅

+⋅= 2

2222221() [()](()) k k k D X E X E X X E X P ==-=-∑

22(0.6) 0.4(0.4)0.60.24=-⋅+⋅= 12() D X X +=12() () 130.2413.24D X D X +=+=