专题突破8 代数综合 学生版
初二 记叙文 4288字 29人浏览 斯柯达66396

专题突破(八) 代数综合

方程与函数是初中代数学习中极为重要的内容,在北京中考试卷中,2015年代数综合题出现在第27题,分值为7分.代数综合题主要以方程、函数这两部分为考查重点,用到的数学思想、方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等.

1.[2017·北京] 27.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2

43y x x =-+与x 轴相交于A,B (点A 在点B 的左边),与y 轴相交于C . (1)求直线BC 的表达式。

(2)垂直于y 轴的直线l 与抛物线相交于点1122(, ), (, ), P x y Q x y ,与直线BC 交于点33(, ) N x y 。若123x x x <<,结合函数图像,求123x x x ++的取值范围.

2. [2016·北京] 27.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线221(0) y mx mx m m =-+->与x 轴的交点为A ,B.

(1)求抛物线的顶点坐标;

(2)横、纵坐标都是整数的点叫整点.

① 当m=1时,求线段AB 上整点的个数;

② 若抛物线在点A ,B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图象,求m 的取值范围.

3.[2015·北京] 在平面直角坐标系xOy 中,过点(0,2) 且平行于x 轴的直线与直线y =x -1交于点A ,点A 关于直线x =1的对称点为B ,抛物线C 1:y =x 2+bx +c 经过点A ,B.

(1)求点A ,B 的坐标;

(2)求抛物线C 1的函数解析式及顶点坐标;

(3)若抛物线C 2:y =ax 2(a ≠0) 与线段AB 恰有一个公共点,结合函数的图象求a 的取值范围.

4.[2014·北京] 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =2x 2+mx +n 经过点A (0,-2) ,B (3,4) .

(1)求抛物线的函数解析式及对称轴;

(2)设点B 关于原点的对称点为C ,点D 是抛物线对称轴上的一动点,记抛物线在A ,B 之间的部分为图象G (包含A ,B 两点) .若直线CD 与图象G 有公共点,结合函数图象,求点D 纵坐标t 的取值范围.

5.[2013·北京] 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =mx 2-2mx -2(m ≠0) 与y 轴交于点A ,其对称轴与x 轴交于点B.

(1)求点A ,B 的坐标;

(2)设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称,求直线l 的函数解析式;

(3)若该抛物线在-2<x <-1这一段位于直线l 的上方,并且在2<x <3这一段位于直线AB 的下方,求该抛物线的函数解析式.

6.[2012·北京] 已知二次函数y =(t +1) x 2+2(t +2) x +32

x =0和x =2时的函数值相等. (1)求二次函数的解析式;

(2)若一次函数y =kx +6的图象与二次函数的图象都经过点A (-3,m ) ,求m 和k 的值;

(3)设二次函数的图象与x 轴交于点B ,C (点B 在点C 的左侧) ,将二次函数的图象在点B ,C 间的部分(含点B 和点C ) 向左平移n (n >0) 个单位长度后得到的图象记为G ,同时将(2)中得到的直线y =kx +6向上平移n 个单位长度.请结合图象回答:当平移后的直线与图象G 有公共点时,求n 的取值范围.

图Z8-1

7.[2011·北京] 在平面直角坐标系xOy 中,二次函数y =mx 2+() m -3x -3() m >0的图象与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 左侧) ,与y 轴交于点C .

(1)求点A 的坐标;

(2)当∠ABC =45°时,求m 的值;

(3)已知一次函数y =kx +b ,点P () n ,0是x 轴上的一个动点,在(2)的条件下,过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ,交二次函数y =mx 2+() m -3x -3() m >0的图象于点N . 若只有当-2<n <2时,点M 位于点N 的上方,求这个一次函数的解析式.

图Z8-2

1.[2015·海淀一模] 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =12

2-x +2与y 轴交于点A ,顶点为B ,点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称.

(1)求直线BC 的函数解析式;

(2)点D 在抛物线上,且点D 的横坐标为4. 将抛物线在点A ,D 之间的部分(包含点A ,

D ) 记为图象G ,若图象G 向下平移t (t >0)个单位后与直线BC 只有一个公共点,求t 的取值范围.

图Z8-3

2.[2015·朝阳一模] 如图Z8-4,将抛物线M 1:y =ax 2+4x 向右平移3个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到抛物线M 2,直线y =x 与M 1的一个交点记为A ,与M 2的一个交点记为B ,点A 的横坐标是-3.

(1)求a 的值及M 2的函数解析式.

(2)点C 是线段AB 上的一个动点,过点C 作x 轴的垂线,垂足为D ,在CD 的右侧作正方形CDEF .

①当点C 的横坐标为2时,直线y =x +n 恰好经过正方形CDEF 的顶点F ,求此时n 的值;

②在点C 的运动过程中,若直线y =x +n 与正方形CDEF 始终没有公共点,求n 的取值范围(直接写出结果) .

图Z8-4

3.[2015·西城一模] 已知二次函数y 1=x 2+bx +c 的图象C 1经过(-1,0) ,(0,-3) 两点.

(1)求C 1对应的函数解析式;

(2)将C 1先向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到抛物线C 2,将C 2对应的函数解析式记为y 2=x 2+mx +n ,求C 2对应的函数解析式;

(3)设y 3=2x +3,在(2)的条件下,如果在-2≤x ≤a 内存在..

某一个x 的值,使得y 2≤y 3成立,利用函数图象直接写出a 的取值范围.

图Z8-5

4.[2015·东城一模] 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =ax 2+bx +1() a ≠0过点A () -1,0,B () 1,1,与y 轴交于点C.

(1)求抛物线y =ax 2+bx +1() a ≠0的函数解析式.

(2)若点D 在抛物线y =ax 2+bx +1() a ≠0的对称轴上,当△ACD 的周长最小时,求点D 的坐标.

(3)在抛物线y =ax 2+bx +1() a ≠0的对称轴上是否存在点P ,使△ACP 成为以AC 为直角边的直角三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.

图Z8-6

5.[2015·石景山一模] 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =mx 2-2mx -3(m ≠0) 与x 轴交于A (3,0) ,B 两点.

(1)求抛物线的函数解析式及点B 的坐标;

(2)将-2<x <3时的函数图象记为G ,求此时函数y 的取值范围;

(3)在(2)的条件下,将图象G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折,图象G 的其余部分保持不变,得到一个新图象M . 若经过点C (4,2) 的直线y =kx +b (k ≠0) 与图象M 在第三象限内有两个公共点,结合图象求b 的取值范围.

6.[2015·通州一模] 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象与一次函数y 1=x +k 的图象交于A (0,1) ,B 两点,C (1,0) 为二次函数图象的顶点.

(1)求二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的解析式;

(2)在平面直角坐标系中画出二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象和一次函数y 1=x +k 的图象;

(3)把(1)中的二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象平移后得到新的二次函数y 2=ax 2+bx +c +m (a ≠0,m 为常数) 的图象,定义新函数f :“当自变量x 任取一值时,x 对应的函数值分别为y 1或y 2,如果y 1≠y 2,函数f 的函数值等于y 1,y 2中的较小值;如果y 1=y 2,函数f 的函数值等于y 1(或y 2) .”当新函数f 的图象与x 轴有三个交点时,直接写出m 的取值范围.

7.[2015·海淀二模] 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =mx 2-2mx +m +4与y 轴交于点A (0,3) ,与x 轴交于点B ,C (点B 在点C 左侧) .

(1)求该抛物线的函数解析式及点B ,C 的坐标;

(2)抛物线的对称轴与x 轴交于点D ,若直线y =kx +b 经过点D 和点E (-1,-2) ,求直线DE 的函数解析式;

(3)在(2)的条件下,已知点P (t ,0) ,过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M ,交直线DE 于点N ,若点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方,直接写出t 的取值范围.

图Z8-7

8.[2014·海淀期中] 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =x 2-(m -1) x -m (m >0)与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧) ,与y 轴交于点C.

(1)求点A 的坐标;

(2)当S △ABC =15时,求该抛物线的函数解析式;

(3)在(2)的条件下,经过点C 的直线l :y =kx +b (k <0)与抛物线的另一个交点为D . 该抛物线在直线l 上方的部分与线段CD 组成一个新函数的图象.请结合图象回答:若新函数的最小值大于-8,求k 的取值范围.

图Z8-8

9.[2015·平谷一模] 已知抛物线y =ax 2+x +c (a ≠0) 经过A (-1,0) ,B (2,0) 两点,与y 轴相交于点C ,点D 为该抛物线的顶点.

(1)求该抛物线的函数解析式及点D 的坐标;

(2)点E 是该抛物线上一动点,且位于第一象限,当点E 到直线BC 的距离为22

点E 的坐标;

(3)在(2)的条件下,在x 轴上有一点P ,且∠EAO +∠EPO =∠α,当tan α=2时,求点P 的坐标.

图Z8-9

10.[2015·怀柔一模] 在平面直角坐标系xOy 中,二次函数y =(a -1) x 2+2x +1的图象与x 轴有交点,a 为正整数.

(1)求a 的值;

(2)将二次函数y =(a -1) x 2+2x +1的图象向右平移m 个单位长度,再向下平移(m 2+1) 个单位长度,当-2≤x ≤1时,二次函数有最小值-3,求实数m 的值.

图Z8-10