正项级数敛散性的判别
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正项级数的敛散性判别

136班 刘璐 20132201078

通过数学分析课程的学习我们知道判断正项级数是否收敛有如下常用定理:D ’Alembert 比值法,Cauchy 根值法及Rabbe 判别法. 虽然这三种判别方式及判断准则都有所差异,但它们的核心和实质都是“比较”,“比较”的关键就在于寻找不等关系. 而这三种判别方式的延伸是其极限形式,既通过计算极限来判断级数敛散性.

求极限,就是运用等式解决问题的思维过程. 相比于“等”,“不等”给思维灵活性更强,实用度更广,故在解决正项级数敛散性问题时,我们优先考虑的常常是“比较”而不是“极限”. 不妨先来看如下问题:

[例1] 试判断正项级数∑∞

=1! n n n

n e n 的敛散性.

[问题分析] 记n n

n n

e n a ! =,此时 n

n n n n n n n

e e n n n e n a a ) 1(! ) 1()! 1(111+=++=+++ 显然,若对n n a a 1+取极限,有1lim 1=+∞→n

n n a a ,由D ’Alembert 比值法的极限形式显然无法判定级数的敛散性. 正项级数敛散性判别的核心在于比较,故此时有个自然而然的想法就是利用已知敛散性的级数,利用比较判别法来对问题进行说明.

已知等比级数∑∞=1n n q

的敛散性:当10<<q 时级数收敛;当1≥q 时级数发散. 既

⎩⎨⎧≥<<=+级数发散

级数收敛, 1, 101q q q a a n n 此时对于任意正项级数,由于有限项不影响级数的敛散性,故N n t s N >∀∃. . , 有:

11<≤+q a a n

n ,11≥+n n a a ,级数发散. 我们称这个判别方式为D ’Alembert 比值法(《数学分析(二)》,在此不对其证明进行阐述).

D ’Alembert 比值法的极限形式源于D ’Alembert 比值法,而学习者在解决问题时经常忽略D ’Alembert 比值法而选择其极限形式是因为有着等式思维的思维定式. 与其极限形式相比,D ’Alembert 比值法还包括了等于1的情形,其实用性要比其极限形式更加广. 回归到例1,有n n ) 1

1(+是单调递增的,故n n a a 1+是单调递减的,而1lim 1=+∞→n n n a a ,易得

11≥+n

n a a 由D ’Alembert 比值法,级数发散.

以例1为其实,现尝试解决如下问题:

[问题1] 试判断正项级数∑∞

=12

)! 2() ! (n n n 的敛散性. [问题解决] 记)!

2() ! (2

n n a n =,有 12

1) 1(21) 12(21! ! )! 2()! 22()! 1()! 1(1<=++≤++=+++=+n n n n n n n n n n a a n n 故级数收敛.

[问题2] 试判断正项级数∑∞

=12

)! 2() ! (n n n 的敛散性. [问题解决] 记n n n n

n a ! 2=,有 n

n n n n n

n n n n a a ) 11(2! ! 2)! 1()! 1(211+=++=++ n n ) 11(+单调递增,故n n a a 1+单调递减,有1max

1=+n n a a . 故当2≥n 时,11<+n n a a ,级数收敛. [问题3] 试判断正项级数∑∞=2ln ) (ln1n n n 的敛散性.

[问题解决]

由于有限项不影响级数的敛散性,故不妨假设

2

ln 1) (ln1n n n ≤ 既

n n n ln 2) (ln≤

两边取对数

) ln(lnln ln 2n n n ≤

) ln(ln2n ≤

9e n ≥

故当9e n ≥时,级数收敛,总而言之,级数收敛.

[问题4] 试判断正项级数

∑∞

=4) ln(ln) (ln1n n n 的敛散性. [问题解决]

由于 ) ln(ln) ln(ln) ln(ln)

(ln1n n n e n -= 下证n n ln )][ln(ln2<. 记x x x f -=ln ) (,有x

x x f 211) (' -=. 令0) (' =x f ,解得4=x . 故]4, 0(, 0) (' ∈>x x f ,], 4[, 0) (' +∞∈<x x f . 从而]4, 0(∈x ,) (x f 单调递增;], 4[+∞∈x ,) (x f 单调递减. 而0) 4(=f ,0) (≤x f .

由此,当1>n ,n n ≤2) (ln. 而4>n ,1ln >n ,故n n ln )][ln(ln2

≤,有 n

e e e n n n n n n 1) (ln1ln )][ln(ln) ln(ln) ln(ln) ln(ln2=>==--- ∑∞

=41n n 发散,故∑∞=4) ln(ln) (ln1n n n 发散. [问题5] 试判断正项级数

∑∞

=4) ln(ln)][ln(ln1n n n 的敛散性. [问题解决] 由于) l n (l n ) l n (l n ) (l 1)][ln(ln1n n n n >,由问题4知,∑∞=4) l n (l n ) (l 1n n n 发散,故

∑∞=4) ln(ln)][ln(ln1n n n 发散.

[问题6] 试判断正项级数

∑∞=+12) 1(n n n n 的敛散性. [问题解决] 记2) 1(n n n

n a +=,有 n n n n

n n a ) 11() 1(

+=+= 而n a 单调递增,1≥n a ,故级数∑∞=+1

2) 1(n n n n 发散. [问题7] 试判断正项级数∑∞

=+-1) 1ln 1(n n n n 的敛散性. [问题解决]

由上述若干问题知,n n <ln ,故

n

n n n 11ln

+<+ 1111ln 1->+->+-n n n n n n ∑∞=1) 1(-n 发散,所以∑∞=+-1

) 1ln 1(n n n n 发散. 纵观上述问题,利用“比较”来判断正项级数的敛散性关键在于对级数通项的放缩及学习者认知结构中已知敛散性的级数的库存;另一方面可以看出“比较”的适用性确实比“极限”更广,这意味着学习者要努力打破自身等式思维带来的局限,站在“不等”这种不平衡的新角度去看待新旧问题,获得对知识更深层次的领悟.