山重水复疑无路,柳暗花明又一村 - 山东省教师教育网
初一 议论文 2235字 527人浏览 溪山居客

1 山重水复疑无路,柳暗花明又一村

关于空间向量的数量积有这样三条性质:

(1)><=⋅e a a e a , cos ||,(2)0=⋅⇔⊥b a b a ,(3)a a a ⋅=2||。

作为“工具性”,性质(2)(3)比较明显,会立即得到充分的应用。可是对于性质

(1),当时,在上新授课时我总认为:这条性质没有什么“本质上”的用处,有点像“房间里的摆设”——配角。但是随着时间的推移,笔者发现了她的奥妙之处:在后继的有关空间问题中的“三大角度”和“三大基本距离”的坐标法的研究中有着奇妙无穷的用途,并带来意想不到的“知识链”反应,极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的“认知模块”的内涵。

1.1线线角])2, 0[(π

αα∈的求法的新认识:

我们把这两条线赋予恰当的两个向量,问题就化归为两个向量的夹角(两个向量所成的角的范围为], 0[π),即||

|, cos |cos ==><=α, 我们能否加以重新认识这个公式呢?如图,

||||||cos OB OB OB ==α,此时OB 1可以看作是与方向上的单位向量的数量积(e e b =

⋅其中,这就是由数量积这条性质滋生而成的;故此结论重新可以理解为:|

|cos =α(这里刚好满足三角函数中余弦的定义:邻边比斜边)。 1.2线面角])2, 0[(π

θθ∈的求法的新认识:

1

B 1

1

2 |, cos |sin <=n θ= (其中为平面α的一个法向量),此结论重新可以理解为:||||sin PA OP ==θ此时OP 又可以看作是在n 上的投影,即与n 方向上的单位向量e 的数量积e PA ⋅,(=

其中,故||sin =θ(这里刚好满足三角函数中正弦的定义:对边比斜边)。 1.3二面角的平面角]), 0[(πθθ∈的求法的新认识:

|||cos |=θ=21(其中21n n 是两二面角所在平面的各一个法向量)此结论重新可以理解为:2|2|1|

1||cos |n n n n ==θ(这里刚好满足三角函数中余弦的定义:邻边比斜边)。

★三大角的统一理解:

|

|cos b =α、|

|sin PA =θ2|2|1|

1||cos |n n ==θ、

其从上述梳理完全可以看出其本质特征:这里的“空间角”的求法,完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影,即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积,而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图,学生完全可以达到“系统化”和“自主化”,因为直角三角形中的三角函数定义,他们太熟悉了!即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”,那学习就会水到渠成!

3 (2)它又是空间三大距离(即点线距、点面距、异面直线间距离)用向量法求解的“联系点”。

空间中有七大距离(除球面上两点间的距离外)基本上可转化为点点距、点线距、点面距,而点线距和点面距又是重中之重!另外两异面直线间的距离,高考考纲中明确要求:对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离.........

。因此对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份。教材按排中引进了向量法来解决距离问题,也给问题的解决带来新的活力!不用作出(或找出)所求的距离了。

2.1点面距求法的新认识:

||sin ||||d ====θ(其中为平面α的一个法向量),此结论重新可以理解为: ||d =,即在上的投影,即与方向上的单位向量的数量积(=⋅其中。

2.2点线距求法的新认识:

1)新认识之一:

如图,若存在有一条与l 相交的直线时,就可以先求出由这两条相交直线确定的平面的一个法向量n ,则点P 到l 的距离||d =。 2)新认识之二:

若不存在有一条与l 相交的直线时,

我们可以先取l 上的一个向量,再利用2||2||2||OA PA PO -=来解,即:

2||2||2d -=, 而数量OB可以理解为在l 上的向量的投影,也即为:||||PA OA =。

P l O A

4 2.3异面直线间距离求法的新认识:

从这几年的高考《考纲说明》观察,我们不难发现,对异面直线间距离的考查本意不能太难,但若出现难一点的考题,命题者又能自圆其说的新情况。实际上,这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法:只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的........距离..

。那也就是说,在不要作出公垂线(也许学生作不出!)的情况下,也可以求出它们的距离的!那就是用向量法!

如图所示:若直线l 1与直线l 2是两异面直线,求两异面直线的距离。

略解:在两直线上分别任取两点A 、C 、B 、D ,构造三个向量, , ,记与两直线的公垂线共线的向量为n , 则由00=⋅=⋅n BD n AC 与, 得, 则它们的距离就可以理解为:在上的投影的绝对值,即: ||d ⋅

=。

★三大距离的统一理解: ||d =(点面距)、 ||d =(异面距)、||d =(点线距之一)、 2||2||2d -=且||||=(点线距之二)、

其本质特征是:一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影,也即数量积此性质的直接应用。

由上述的剖析过程不难再看出:空间中的三大角与三大基本距离的计算,都隐藏于这个“特定”的数量积的性质之中,体现在这个公式结构的“统一美”之中,把问题的本质揭示得“淋漓尽致”,而又不失自然!这给“立体几何” 中向量的工具性的体现,增色了几分美感与统一感!