朱家燕 特克斯2013-2014学年第二学期高二第一次月考数学(理科)试卷
四年级 记叙文 3688字 42人浏览 旭日小慧

1 2013-2014学年第二学期高二第一次月考数学(理科)试卷

(考试范围:选修2-2全册 时间:100分钟,满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.i 是虚数单位,i 3+3i

=( ) A . 14312 B . 14+312 C . 1236 D . 1236

2.函数y =x cos x -sin x 的导数为( )

A .x cos x B .-x sin x C .x sin x D .-x cos x

3.已知数列2,5,11,20,x,47,… 合情推出x 的值为( )

A .29 B .31 C .32 D .33

4.若' 0() 3f x =-,则000() (3) lim h f x h f x h h

→+--=( ) A . 3- B . 6- C . 9- D . 12-

5. 一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米, t 的单位是秒, 那么物体在3秒末的瞬时速度是( )

A. 7米/秒 B. 6米/秒 C. 5米/秒 D. 8米/秒

6.用数学归纳法证明不等式11213+…+12-1

∈+N 且n >1)时,第一步应验证不等式( )

A .1+12<2 B .1+1213 C .112+13 D .1+1213+14

<3 7.用反证法证明命题:“若a ,b ∈N ,ab 能被5整除,则a ,b 中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是( )

A .a ,b 都能被5整除 B .a ,b 都不能被5整除

C .a ,b 有一个能被5整除 D .a ,b 有一个不能被5整除

8.已知函数f(x)=-x 3+ax 2-x -1在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数a 的取值范围是( )

A .(-∞,-∪3,+∞) B .[-3,3]

C .(-∞,-3) ∪3,+∞) D .(33)

9.已知函数() f x 的导函数为() f x ',且满足() 2(1)ln f x xf x '=+,则(1) f 的值为( )

A .2- B .1- C .1 D .2

10. 曲线y =13x 3+122在点T (1,56

) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( ) 4918 B. 4936 C. 4972 D. 49144

11. 在平面直角坐标系中,直线x -y =0与曲线y =x 2-2x 所围成的面积为( ) A .92 B. 1 C. 52

D .9 12. 若关于x 的方程0=+3-3m x x 在区间[0,2]上有根, 则m 的取值范围是( )

A. ≤m -2 B. -2≤m ≤0 C. m ≤2. D. -2≤m ≤2

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二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)

13.已知复数z =1+i (i 是虚数单位),则2z

- z =_______. 14. 用数学归纳法证明2+=++3+2+12

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n n n (n +N ) 的过程中, 由 k n =变到1+=k n 时,左边总共增加了__________ 项;

15.已知函数f (x ) =3x 2+2x ,若 f (x )d x =2f (a ) 成立,则a =________.

16.y =x e x +1的单调增区间为________________.

三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(12分) (1)求函数x x

x x f cos +ln =) (的导数 ; (2)求定积分dx x   ⎰π20sin ; (3)化简i

i +1) 3+1(2

(i 是虚数单位).

18.(12分)用综合法或分析法证明:

(1)如果0, 0>>b a ,则2

lg lg 2lg b a b a +≥+; (2)求证:

72256->- .

3

19.(12分) 设函数3() 3(0) f x x ax b a =-+≠,已知曲线() y f x =在点)) 2(, 2(f 处与直线8y =相切.

(Ⅰ)求 , a b 的值;

(Ⅱ)求函数() f x 的极值.

20.(10分) 已知函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx 在点x 0处取得极小值-7,其导函数y =f ′(x ) 的图像经过点(-1,0) ,(2,0),如下图所示,试求x 0,a ,b ,c 的值.

4 21.(12分) 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,S n =n 2a n (n ∈+N ) .

(1)写出S 1,S 2,S 3,S 4,并猜想S n 的表达式;

(2)用数学归纳法证明你的猜想,并求出a n 的表达式.

22.(2010·北京)(12分) 已知函数f (x ) =ln(1+x ) -x +k 2x 2(k ≥0).

(1)当k =2时,求曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线方程;

(2)求f (x ) 的单调区间.

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2013-2014学年第二学期高二第一次月考数学(理科)试题 参考答案

1-6 BBCDCB 7-12 BBADCD 13. 14.

15. -1或13

16. (-1,+∞) 17.

18.

19.

20. 解 由y =f ′(x ) 的图像可知,

在(-∞,-1) 上f ′(x )<0,在(-1,2) 上f ′(x )>0,在(2,+∞)上f ′(x )<0,故f (x ) 在(-∞,-

1) 上递减,在(-1,2) 上递增,在(2,+∞)上递减.因此,f (x ) 在x =-1处取得极小值, 所以x 0=-1.

∵f (x ) =ax 3+bx 2+cx ,

∴f ′(x ) =3ax 2+2bx +c .

故由f ′(-1) =0,f ′(2)=0,f (-1) =-7,

得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a -2b +c =0,12a +4b +c =0,

-a +b -c =-7,解得a =-2,b =3,c =12.

21. 解 (1)易求得S 1=122S 2=43,S 33264,S 4=85,猜想S n =2n n +1

(2)①当n =1时,S 1=2×11+1

1,猜想成立. ②假设n =k (k ∈N *) 时,S k =2k k +1

则当n =k +1时,

S k +1=(k +1) 2a k +1

=(k +1) 2(S k +1-S k ) ,

∴S k +1= k +1 2k +2k 2k k +1=2 k +1 k +1 +1

这表明当n =k +1时,猜想也成立.

根据①、②可知,对n ∈N *,

S n =2n n +1

a n S n =2n n +1 22.

解 (1)当k =2时,f (x ) =ln(1+x ) -x +x 2

f ′(x ) =11+x

-1+2x . 由于f (1)=ln2,f ′(1)=32

, 所以曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线方程为y -ln2=32

x -1) , 即3x -2y +2ln2-3=0.

(2)f ′(x ) =x kx +k -1 1+x

x ∈(-1,+∞), 当k =0时,f ′(x ) =-x 1+x

所以在区间(-1,0) 上f ′(x )>0;在区间(0,+∞)上f ′(x )<0,

6 故f (x ) 的单调增区间为(-1,0) ,单调减区间为(0,+∞). 当0<k <1时,由f ′(x ) =x kx +k -1 1+x 0,得x 1=0,x 2=1-k k >0.

所以在区间(-1,0) 和(1-k k ∞)上f ′(x )>0;在(01-k k 上f ′(x )<0,

故f (x ) 的单调增区间为(-1,0) 和(1-k k ∞),单调减区间为(0,1-k k .

当k =1时,f ′(x ) =x 2

1+x ,故f (x ) 的单调增区间为(-1,+∞).

当k >1时,由f ′(x ) =x kx +k -1 1+x =0,得x 1=0,x 2=1-k k ∈(-1,0) ,

所以在区间(-11-k k ) 和(0,+∞)上f ′(x )>0;

在区间(1-k k 0) 上f ′(x )<0,

故f (x ) 的单调增区间为(-1,1-k k 和(0,+∞),单调减区间为(1-k k 0) .