数学里的高山流水_6
初三 散文 1930字 47人浏览 朝阳同创科技

数学里的高山流水

——圆和相似的巧妙结合,便犹如伯牙遇上了钟子期……

初三(5)班 高佳琴

(备注:该生2011届重点高中保送毕业生)

步入初三,渐渐深入接触了圆和相似这两个版块,同学们深切感慨:圆和相似真的好难!老师口中的话已经讲了不知多少遍,提醒我们要重视圆与相似,遇到圆的题目不要紧张,要灵活地运用相似。而且它们也是中考的常客,老师出题的法宝。在中考前,很多同学都为此而感到焦虑。

下列是摘取于XX 讨论群的部分对话记录:(省略日期)

∮ind 〃回忆:

同志们,好久不见啦,都出来聊聊

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有啥好聊的,都要中考了,你可真是平常心面对呀

∮ind 〃回忆:

不是老师说的吗?考前要放轻松,才能发挥好

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(+﹏+)~狂晕,世上怎么会有这般人也……

┧+Ⅰ≠①:

小朋友呀,别这么悲观

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唉,我的数学啊,不想说,实在太“杯具”啦

┧+Ⅰ≠①:

说到这个,难得今天有空,大家聚起来一起来讨论一道数学题目,咋样

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你你你…你故意刺激我???

丅①站の詠恆:

我发表一下感慨:与其抱怨不如欣然接受。你快点说题吧

┧+Ⅰ≠①:

如图,已知E 是△ABC 的内心,∠A 的平分线交BC

D.

(1)求证:DE=DB =DC;

(2)若AD=8cm,DF :FA=1:3,求DE 的长

(1)已证,求(2)即可

∮ind 〃回忆:

这还不简单! So easy!!

∮ind 〃回忆:

E 是圆心,DE=1/2AD=4

∮ind 〃回忆:

这么简单,╭∩╮(︶︿︶) ╭∩╮鄙视你!!

┧+Ⅰ≠①:

枭枭娴子:

- -,E 又没说是圆心

丅①站の詠恆:

既然题目中有角平分线,肯定要用到的嘛!

丅①站の詠恆:

或许可以用到别的知识,比如说 相似

┧+Ⅰ≠①:

嗯,说的有道理,那我再回去想想吧88

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真伤心,完全把我忽略啦

就上题而言,许多同学多会用圆的知识来解题,而且会误以为E 便是该圆的圆心这就是理解不当所致,以及知识点没有完全掌握。外接圆的圆心是指该圆的内接△三条边的垂直平分线的交点(即外心),内接圆的圆心是指该圆的外接△的三条角平分线的交点。(即内心)

当解一道难题时,形如上题,表面上要用到圆的知识, 但似乎又行不通,这个时候就该想想别的方法,如相似。而且当实在写不下去的时候,可以适当采用倒推的方法,以便更好地解题。

那我们就来看一下这道题目吧。

如图,已知E 是△ABC 的内心,∠A 的平分线交BC 于点F, 且与△ABC 的外接圆相交于点D.

(1)求证:DE=DB =DC;

(2)若AD=8cm,DF :FA=1:3,求DE 的长

一、思路:第1

①证明全等

②等角对等边

③在圆中,可以采用圆的一些性质来证明线段相等

……

由题目中的条件可得,AD 为角平分线,

∴圆周角∠BAD=∠CAD

运用方法③可得BD=CD

剩下的可运用①或②来解决

(∵DE 不是弦,∴无法用③来解决)

∵图中无法找出全等的△与BD 、ED 产生关系

∵它共同藏在一个△中

∴方法②似乎很适合这题

而要证明其为等腰△,可以利用外角的性质+一些等量代换求角相等

而题中讲到内心可利用其知识点得到∠ABE=∠CBE ,∠CAD=∠BAD

而利用圆的性质可得 ∠CAD=∠CBD ,

∴∠CBD=∠BAD

∴∠CBE+∠CBD=∠ABE+∠BAD

即∠EBD=∠BED

∴BD=BE

∴BE=BD=DC 二、思路:第2小题要我们求线段的长度,到现在为止我们学过的方法有如下几种:①证明全等或相似

②等量代换

③勾股定理

④三角函数

⑤面积、体积助算法

……

∵题中无关于Rt ∠的任何信息和角的具体数值

∴可以不能方法③和④

∵题中无任何关于面积和体积的实际数值

∴不能用方法⑤

所以可以尝试使用方法①和②

由题易得:AF=6,DF=2

由一中得,BD=BE=CD

∴要求DE ,也可以转化为求BD 或CD

接下来便是找BD 或CD 与已知条件(AF ,DF ,AD …

∵由图像可得,BD 与DF 与AD 藏在一个“A ∴或许可以运用到相似

∵一中已证∠CBD=∠BAD ,加上一个公共角∠ADB

∴利用两个角相等可以证三角形相似

即△DFB ∽△DBA

∴DF :DB=BD:DA 且BD 为中间项

∴BD=√(2×8)=4

∴DE=DB=4

所以解一些难题时,像这种圆和相似结合的题目,首先要认清题目要我们求什么,再根据这个要求回忆所学的知识,及解这类题目的方法,根据题意选择适当的方法。当题目比较复杂,涉及多个知识点时,要思路清晰,灵活运用知识点,不要被图像的表面所蒙蔽,要抽离出对自己有用的东西,抓住一些关键的点、词、句…解答时既要写得详细,充分表达自己的观点,但也不能拖泥带水,没完没了。相信,掌握了这些,难题就不在话下了!!