安徽省黄山市2017届高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
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安徽省黄山市2017届高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

一、选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. )

1.复数(i 为虚数单位)的虚部为( )

A .2i B .2

C .﹣2i D .﹣1 2.设集合A={x |(x ﹣1)(x ﹣3)<0},B={y |y=2x ,x ∈[1,2]},则A ∩B=( )

A .∅ B .(1,3) C .[2,3) D .(1,4]

3.已知椭圆

的一个焦点与抛物线的焦点重合,长轴长等于圆x 2+y 2﹣2x ﹣15=0的半径,则椭圆C 的方程为( )

A . B .

C . D .

4.等比数列中{a n },a 1,a 5为方程x 2﹣10x +16=0的两根,则a 3=( ) A .4 B .5 C .±4 D.±5

5.按照图中的程序框图执行,若M 处条件是k >16,则输出结果为( )

A .15 B .16 C .31 D .32

6.下列命题中真命题是( )

A .

B .设l ,m 表示不同的直线,α表示平面,若m ∥l 且m ⊥α,则l ∥α

C .利用计算机产生0和l 之间的均匀随机数m ,则事件“3m﹣1≥0”发生的概率为

D .“a>0,b >0”是“≥2”的充分不必要条件

7.中国传统文化中不少优美的古诗词很讲究对仗,如“明月松间照,清泉石上流”中明月对清泉同为自然景物,明和清都是形容词,月和泉又都是名词,数学除了具有简洁美、和谐美、奇异美外,也具有和古诗词中对仗类似的对称美.请你判断下面四个选项中,体现数学对称美的是( )

A .“”表示成“”

B .平面上所有二次曲线的一般形式均可表示成:Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F=0 C .正弦定理:

D .123456789×9+10=1111111111

8.已知函数f (x )=log3|x ﹣t |是偶函数,记

则a ,b ,c 的大小关系为( )

A .a <c <b B.a <b <c C.c <a <b D.c <b <a

9.已知△ABC 中,

且D 是BC 的中点,则中线

AD 的长为( )

A .2 B .4 C . D . 10.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥外接球的表面积是( )

A . B .6π C .24π D.36π

11.设双曲线

=1(a >0,b >0)的右顶点为A ,右焦点为F (c ,0),弦PQ 过F 且垂直于x 轴,过点P 、点Q 分别作直线AQ 、AP 的垂线,两垂线交于点B ,若B 到直线PQ 的距离小于2(a +c ),则该双曲线离心率的取值范围是( ) A .(1,) B .(,+∞) C .(0,) D .(2,)

12.已知函数

,则关于x 的方程|f (x )|=a(a

为实数)根个数不可能为( )

A .1

B .3 C .5 D .6 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上)

13.多项式展开式中的常数项是.

14.若点P (x ,y )坐标满足不等式组,则|x +3y |的取值范围 .

15.直角三角形△ABC 中,若∠ACB=90°,AC=3, =2

, =3,则 •+•= .

16.数列{a n }各项均为正数,且满足a 1=1,.记

,数列

{b n }前n 项的和为S n ,若S n <t 对任意的n ∈N *恒成立,则实数t 的取值范围是 .

三、解答题(本大题共5小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答写在答题卡上的指定区域内. )

17.为了调查黄山市某校高中部学生是否愿意在寒假期间参加志愿者活动,现用简单随机抽样方法,从该校高中部抽取男生和女生共60人进行问卷调查,问卷结果统计如下:

(1)若用分层抽样的方法在愿意参加志愿者活动的学生抽取8人,则应从愿意参加志愿者活动的女生中抽取多少人?

(2)在(1)中抽取出的8人中任选3人,求被抽中的女生人数的分布列和数学

期望.

18.如图,四棱锥P ﹣ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AP=AD=2CD=1,AB=2,PA ⊥平面ABCD .

(1)求证:平面PBD ⊥平面PAC ;

(2)若侧棱PB 上存在点Q ,使得V P ﹣ACD :V Q ﹣ABC =1:2,求二面角Q ﹣AC ﹣B 的余弦值.

19.“中国齐云山国际养生万人徒步大会”得到了国内外户外运动爱好者的广泛关

注,为了使基础设施更加完善,现需对部分区域进行改造.如图,在道路 北侧准备修建一段新步道,新步道开始部分的曲线段MAB 是函数y=2sin(ωx+ϕ),(ω>0,0<ϕ<π),x ∈[﹣4,0]的图象,且图象的最高点为A (﹣1,2).中间部分是长为1千米的直线段BC ,且BC ∥MN .新步道的最后一部分是以原点O 为圆心的一段圆弧CN .

(1)试确定ω,ϕ的值

(2)若计划在扇形OCN 区域内划出面积尽可能大的矩形区域建服务站,并要求矩形一边EF 紧靠道路MN ,顶点Q 罗总半径OC 上,另一顶点P 落在圆弧CN 上.记∠PON=θ,请问矩形EFPQ 面积最大时θ应取何值,并求出最大面积?

20.在平面直角坐标系xOy 中,位于x 轴上方的动圆与x 轴相切,且与圆x 2+y 2﹣2y=0相外切.

(1)求动圆圆心轨迹C 的方程式.

(2)若点P (a ,b )(a ≠0,b ≠0)是平面上的一个动点,且满足条件:过点P 可作曲线C 的两条切线PM 和PN ,切点M ,N 连线与OP 垂直,求证:直线MN 过定点,并求出定点坐标.

21.已知函数f (x )=e2,g (x )=x2+ax ﹣2a 2+3a ,(a ∈R ),记函数h (x )=g(x )•f(x ).

(1)讨论函数h (x )的单调性;

(2)试比较e f (x ﹣2)与x 的大小.

[选修4-4:坐标系与参数方程]

22.已知在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程是(t 是参数)

以原点O 为极点,Ox 为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为

. (1)求直线l 的普通方程和圆心C 的直角坐标;

(2)求圆C 上的点到直线l 距离的最小值.

[选修4-5:不等式选讲]

23.已知函数f (x )=|x ﹣a |﹣|x +1|,且f (x )不恒为0.

(1)若f (x )为奇函数,求a 值;

(2)若当x ∈[﹣1,2]时,f (x )≤3恒成立,求实数a 的取值范围.

2016-2017学年安徽省黄山市高三(上)期末数学试卷(理

科)

参考答案与试题解析

一、选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. )

1.复数(i 为虚数单位)的虚部为( )

A .2i B .2

C .﹣2i D .﹣1 【考点】复数代数形式的乘除运算.

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【解答】解:∵

=, ∴复数的虚部为2.

故选:B .

2.设集合A={x |(x ﹣1)(x ﹣3)<0},B={y |y=2x ,x ∈[1,2]},则A ∩B=( )

A .∅ B .(1,3) C .[2,3) D .(1,4]

【考点】交集及其运算.

【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ,求出B 中y 的范围确定出B ,找出A 与B 的交集即可.

【解答】解:由A 中不等式解得:1<x <3,即A=(1,3),

由B 中y=2x ,x ∈[1,2],得到2≤y ≤4,

则A ∩B=[2,3),

故选:C .

3.已知椭圆的一个焦点与抛物线

的焦点重合,

长轴长等于圆x 2+y 2﹣2x ﹣15=0的半径,则椭圆C 的方程为( )

A . B .

C . D .

【考点】椭圆的简单性质;抛物线的简单性质.

【分析】求出抛物线的焦点坐标,圆的半径,然后求解椭圆的a ,b ,即可得到椭圆方程.

【解答】解:椭圆

的一个焦点与抛物线的焦点重

合,可得c=, 长轴长等于圆x 2+y 2﹣2x ﹣15=0的半径,a=2,则b=1,

所求椭圆方程为:

故选:C .

4.等比数列中{a n },a 1,a 5为方程x 2﹣10x +16=0的两根,则a 3=( ) A .4 B .5 C .±4 D.±5 【考点】等比数列的性质.

【分析】由题意和韦达定理得:a 1+a 5=10,a 1a 5=16,判断出a 1,a 5为正数,由等比数列的性质和项的符号求出a 3的值.

【解答】解:∵a 1,a 5为方程x 2﹣10x +16=0的两根,

∴a 1+a 5=10,a 1a 5=16,则a 1,a 5为正数,

在等比数列中{a n }中,a 32=a1a 5=16,则a 3=±4,

∵a 1,a 5为正数,∴a 3=4,

故选:A .

5.按照图中的程序框图执行,若M 处条件是k >16,则输出结果为( )

A .15 B .16 C .31 D .32

【考点】程序框图.

【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的k ,S 的值,输出结果为31,

退出循环,即可得出结论.

【解答】解:由题意,k=1,S=0,S=S+k=1,k=2,

S=3,k=4,

S=7,k=8,

S=15,k=16,

S=31,k=32不满足条件,退出,

故选C .

6.下列命题中真命题是( )

A .

B .设l ,m 表示不同的直线,α表示平面,若m ∥l 且m ⊥α,则l ∥α C .利用计算机产生0和l 之间的均匀随机数m ,则事件“3m﹣1≥0”发生的概率为

D .“a>0,b >0”是“≥2”的充分不必要条件

【考点】命题的真假判断与应用.

【分析】A ,根据正切函数的图象及周期性可判定;

B ,m ∥l 且m ⊥α⇒l ⊥α;

C ,∵(0,1)上产生随机数a 所对应图形的长度为1,及事件“3m﹣1>0”对应的图形的长度为;

D ,“a>0,b >0”时“≥2”成立,同时“a<0,b <0”时“≥2”也成立;

【解答】解:对于A ,根据正切函数的图象及周期性可判定,A 错;

对于B ,m ∥l 且m ⊥α⇒l ⊥α,故B 错;

对于C ,∵(0,1)上产生随机数a 所对应图形的长度为1,及事件“3m﹣1>0”对应的图形的长度为,故C 错;

对于D ,“a>0,b >0”时“

≥2”成立,同时“a<0,b <0”时“≥2”也成立,

故正确;

故选:D

7.中国传统文化中不少优美的古诗词很讲究对仗,如“明月松间照,清泉石上流”中明月对清泉同为自然景物,明和清都是形容词,月和泉又都是名词,数学除了具有简洁美、和谐美、奇异美外,也具有和古诗词中对仗类似的对称美.请你判断下面四个选项中,体现数学对称美的是( )

A .“”表示成“” B .平面上所有二次曲线的一般形式均可表示成:Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F=0 C .正弦定理:

D .123456789×9+10=1111111111

【考点】进行简单的合情推理.

【分析】根据4个选项,正弦定理:

,体现数学对称美,可得结论.

【解答】解:根据4个选项,正弦定理:

,体现数学对称美, 故选C .

8.已知函数f (x )=log3|x ﹣t |是偶函数,记

则a ,b ,c 的大小关系为( )

A .a <c <b B.a <b <c C.c <a <b D.c <b <a

【考点】奇偶性与单调性的综合.

【分析】由f (x )为偶函数,可得t=0,讨论x >0时,f (x )递增,化a=f(log 0.30.25),

运用指数函数和对数函数的单调性,比较π1.5、2、log 0.30.25的大小,即可得到a ,b ,c 的大小关系.

【解答】解:函数f (x )=log3|x ﹣t |是偶函数,

可得f (﹣x )=f(x ),即log 3|﹣x ﹣t |=log3|x ﹣t |,

即有|﹣x ﹣t |=|x ﹣t |恒成立,可得t=0,

则f (x )=log3|x |,当x >0时,f (x )=log3x 为增函数,

a=f(log 0.34)=f(log 0.30.25),c=f(2﹣t )=f(2),

由1<log 0.30.25<2,π1.5>π>3,

即有π1.5>2>log 0.30.25,

则f (π1.5)>f (2)>f (log 0.30.25),

即为b >c >a .

故选:A .

9.已知△ABC 中,

且D 是BC 的中点,则中线

AD 的长为( )

A .2 B .4 C . D . 【考点】三角形中的几何计算.

【分析】如图所示,在△ABC 中,由余弦定理可得:a 2=BC2=﹣2×

=16.解得a .设∠ADB=α,则∠ADC=π﹣α.设AD=m.在△

ABD 与△ACD 中,由余弦定理可得:c 2=

﹣2m cosα,b 2=﹣2m cos (π﹣α),相加即可得出.

【解答】解:如图所示,

在△ABC 中,由余弦定理可得:a 2=BC2=﹣2×

=16.

解得a=4.

设∠ADB=α,则∠ADC=π﹣α.设AD=m.

在△ABD 与△ACD 中,由余弦定理可得:c 2=﹣2m cosα, b 2=﹣2m cos (π﹣α),

∴c 2+b 2=2m2+,

∴=2m2+,

解得m=2.

故选:C .

10.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥外接球的表面积是(

A . B .6π C .24π D.36π

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.

【分析】由已知可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,其外接球相当于一个长,宽,高分别为1,1,2的长方体的外接球,进而得到答案.

【解答】解:由已知可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,

其外接球相当于一个长,宽,高分别为1,1,2的长方体的外接球,

故4R 2=12+12+22=6,

故该三棱锥外接球的表面积S=6π,

故选:B .

11.设双曲线=1(a >0,b >0)的右顶点为A ,右焦点为F (c ,0),弦PQ 过F 且垂直于x 轴,过点P 、点Q 分别作直线AQ 、AP 的垂线,两垂线交于点B ,若B 到直线PQ 的距离小于2(a +c ),则该双曲线离心率的取值范围是( ) A .(1,) B .(,+∞) C .(0,) D .(2,)

【考点】直线与双曲线的位置关系.

【分析】求出直线BQ 的方程,令y=0,可得B 的坐标,利用B 到直线PQ 的距离小于2(a +c ),得出a ,c 的关系,即可求出该双曲线离心率的取值范围.

【解答】解:由题意,B 在x 轴上,P (c ,),Q (c ,﹣),∴k AQ =, ∴k BP =﹣,

直线BQ 的方程为y ﹣=﹣(x ﹣c ),

令y=0,可得x=+c ,

∵B 到直线PQ 的距离小于2(a +c ),

∴﹣

<2(a +c ), ∴b <a ,

∴c <

, ∴e <,

∵e >1,

∴1

故选A .

12.已知函数

,则关于x 的方程|f (x )|=a(a 为实数)根个数不可能为( )

A .1 B .3 C .5 D .6 【考点】根的存在性及根的个数判断.

【分析】判断f (x )的单调性,计算f (x )的极值,作出y=|f (x )|的函数图象,根据函数图象得出方程|f (x )|=a的解的情况.

【解答】解:当x <1时,f (x )为增函数,且f (0)=0,

当x ≥1时,f′(x )=3x2﹣18x +24,

令f′(x )=0得3x 2﹣18x +24=0,解得x 1=2,x 2=4,

当1≤x <2时,f′(x )>0,当2<x <4时,f′(x )<0,当x >4时,f′(x )>0,

∴当x=2时,f (x )取得极大值f (2)=4,当x=4时,f (x )取得极小值f (4)=0,

做出y=f(x )的函数图象如图:

将x 轴下方的图象向上翻折得出y=|f (x )|的函数图象如图所示:

由图象可知:

当a <0时,|f (x )|=a无解,

当a=0时,|f (x )|=a有3解,

当0<a <1时,|f (x )|=a有5解,

当1≤a <e ﹣1时,|f (x )|=a有4解,

当e ﹣1≤a <4时,|f (x )|=a有3解,

当a=4时,|f (x )|=a有2解,

当a >4时,|f (x )|=a有1解.

故选D .

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上)

13.多项式展开式中的常数项是.

【考点】二项式定理的应用.

【分析】多项式

=(4x 2﹣2),即可得出其展开式中

的常数项.

【解答】解:多项式=(4x 2﹣2), 其展开式中的常数项为:﹣2+4×5=18.

故答案为:18.

14.若点P (x ,y )坐标满足不等式组

,则|x +3y |的取值范围 [0,6] .

【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域,令z=x+3y ﹣5,化为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求出z=x+3y 得最值,则|x +3y |的取值范围可求.

【解答】解:由约束条件,作出可行域如图,

令z=x+3y ,化为y=﹣+,

由图可知,当直线y=﹣+分别过A (﹣2,0),B (0,2)时,

目标函数z=x+3y 取得最小值和最大值,

分别为:﹣2,6.

∴|x +3y |的取值范围是[0,6].

故答案为:[0,6].

15.直角三角形△ABC 中,若∠ACB=90°,AC=3, =2

, =3,则 •

+•= 3 . 【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】如图所示,设B (0,a ),利用向量的线性运算和数量积运算即可得出.

【解答】解:建立如图所示的坐标系,则由题意可得A (3,0),C (0,0),设B (0,a ).

又∵=2,∴=+=+=(2,);

=3,∴=+=+=(﹣1,), ∴•+•=•(+)=(3,0)•(1,

)=3, 故答案为:3.

16.数列{a n }各项均为正数,且满足a 1=1,.记,数列{b n }前n 项的和为S n ,若S n <t 对任意的n ∈N *恒成立,则实数t 的取值范围是

【考点】数列的求和.

【分析】

满足

a

1

=1

,.﹣=3,利用等差数列的通项公式可得, ==,利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出.

【解答】解:∵满足a 1=1,.∴﹣=3,

∴数列是等差数列,公差为3,首项为1.

∴=1+3(n ﹣1)=3n﹣2,

∴==

, ∴数列{b n }前n 项的和为S n =

++…+ =,

若S n <t 对任意的n ∈N *恒成立,∴

则实数t 的取值范围是

. 故答案为:

. 三、解答题(本大题共5小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答写在答题卡上的指定区域内. )

17.为了调查黄山市某校高中部学生是否愿意在寒假期间参加志愿者活动,现用简单随机抽样方法,从该校高中部抽取男生和女生共60人进行问卷调查,问卷结果统计如下:

(1)若用分层抽样的方法在愿意参加志愿者活动的学生抽取8人,则应从愿意参加志愿者活动的女生中抽取多少人?

(2)在(1)中抽取出的8人中任选3人,求被抽中的女生人数的分布列和数学期望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差;分层抽样方法;离散型随机变量及其分布列.

【分析】(1)在愿意参加志愿者活动的学生中抽取8人,则抽取比例为.即可得出.

(2)被抽中的女生人数X 可能取0,1,2,3.利用“超几何分布列”及其数学期望计算公式即可得出.

【解答】解:(1)在愿意参加志愿者活动的学生中抽取8人,则抽取比例为┉┉┉┉┉┉┉┉

所以从愿意参加志愿者活动的女生中抽取出

人.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ (2)被抽中的女生人数X 可能取0,1,2,3.

;;.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉

被抽中的女生人数 的分布列为:

.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉

18.如图,四棱锥P ﹣ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AP=AD=2CD=1,AB=2,PA ⊥平面ABCD .

(1)求证:平面PBD ⊥平面PAC ;

(2)若侧棱PB 上存在点Q ,使得V P ﹣ACD :V Q ﹣ABC =1:2,求二面角Q ﹣AC ﹣B 的余弦值.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.

【分析】(1)证明PA ⊥BD ,AC ⊥BD ,推出BD ⊥平面PAC ,然后证明平面PBD ⊥平面PAC .

(2)分别以AD ,AB ,AP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A

﹣xyz ,求出相关点的坐标,设P ,Q 到平面ABCD 距离分别为h 1,h 2,则h 1=AP=1.求

出Q 的坐标,求出平面QAC 法向量,平面ABCD 法向量,利用空间向量的数量积求解二面角Q ﹣AC ﹣B 的余弦值.

【解答】(1)证明:∵PA ⊥平面ABCD ,

又BD ⊆平面ABCD ,所以PA ⊥BD

直角梯形ABCD 中,∠BAD=∠ADC=90°,AD=2CD=1,AB=2,

所以,

所以∠ABD=∠CAD ,又∠DAC +∠BAC=90°

所以∠ABD +∠BAC=90°,即AC ⊥BD

又AC ∩PA=A,所以BD ⊥平面PAC .┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉

又BD ⊆平面PBD ,所以平面PBD ⊥平面PAC .┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉

解:(2)由PA ⊥平面ABCD ,得PA ⊥AD ,PA ⊥AB ,又∠BAD=90°,

如图,分别以AD ,AB ,AP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A ﹣xyz ,则

. 设P ,Q 到平面ABCD 距离分别为h 1,h 2,则h 1=AP=1.

∵V P ﹣ACD :V Q ﹣ABC =1:2,,所以h 2=,所以Q 为PB 的中点,即Q (0,1,),

设平面QAC 法向量为,又, 由得,取y=﹣2,得.

又平面ABCD 法向量为,∴

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉

又二面角Q ﹣AC ﹣B 为锐角,所以二面角Q ﹣AC ﹣B 的余弦值为

┉┉┉┉

┉┉┉

19.“中国齐云山国际养生万人徒步大会”得到了国内外户外运动爱好者的广泛关注,为了使基础设施更加完善,现需对部分区域进行改造.如图,在道路 北侧准备修建一段新步道,新步道开始部分的曲线段MAB 是函数y=2sin(ωx+ϕ),(ω>0,0<ϕ<π),x ∈[﹣4,0]的图象,且图象的最高点为A (﹣1,2).中间部分是长为1千米的直线段BC ,且BC ∥MN .新步道的最后一部分是以原点O 为圆心的一段圆弧CN .

(1)试确定ω,ϕ的值

(2)若计划在扇形OCN 区域内划出面积尽可能大的矩形区域建服务站,并要求矩形一边EF 紧靠道路MN ,顶点Q 罗总半径OC 上,另一顶点P 落在圆弧CN 上.记∠PON=θ,请问矩形EFPQ 面积最大时θ应取何值,并求出最大面积?

【考点】函数模型的选择与应用.

【分析】(1)利用正确确定ω,图象过A (﹣1,2),确定ϕ的值;

(2)求出PF ,EF ,可得面积,利用三角函数求出最大面积.

【解答】解:(1)∵

,∴,∴.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉

图象过A (﹣1,2),∴

, 又

.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ (2)由(1)知

,交y 轴于,

又BC=1,BC ∥MN ,∴

. 又∠PON=θ,∴P (2cosθ,2sinθ),┉┉┉┉

=

=

=

┉┉┉┉┉ 又

,∴时,此时矩形EFPQ 面积最大为.┉┉

20.在平面直角坐标系xOy 中,位于x 轴上方的动圆与x 轴相切,且与圆x 2+y 2﹣2y=0相外切.

(1)求动圆圆心轨迹C 的方程式.

(2)若点P (a ,b )(a ≠0,b ≠0)是平面上的一个动点,且满足条件:过点P 可作曲线C 的两条切线PM 和PN ,切点M ,N 连线与OP 垂直,求证:直线MN 过定点,并求出定点坐标.

【考点】轨迹方程.

【分析】(1)利用动圆与x 轴相切,且与圆x 2+y 2﹣2y=0

相外切,建立方程,即可

求动圆圆心轨迹C 的方程式.

(2)求出过M ,N 的直线方程为:

,又MN ⊥OP ,所以k MN •kOP =﹣1,,所以b=﹣2,即可证明结论.

【解答】解:(1)设动圆圆心C (x ,y ),(y >0),

因为动圆与x 轴相切,且与圆x 2+y 2﹣2y=0相外切,所以

, 又y >0,化简得:x 2=4y,(y >0).┉┉┉┉┉┉┉┉

(2)设P (a ,b )(a ≠0,b ≠0),由方程x 2=4y,(y >0)得

,两边对x 求导得.

设切点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则M 点处切线方程为

. 又,整理得:,

又切线过P (a ,b ),所以.

同理可得:┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉

所以过M ,N 的直线方程为:

又MN ⊥OP ,所以k MN •kOP =﹣1,

,所以b=﹣2.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 直线MN :

过y 轴上的定点(0,2).┉┉┉┉┉┉┉

21.已知函数f (x )=e2,g (x )=x2+ax ﹣2a 2+3a ,(a ∈R ),记函数h (x )=g(x )•f(x ).

(1)讨论函数h (x )的单调性;

(2)试比较e f (x ﹣2)与x 的大小.

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【分析】(1)求出函数的导数,通过讨论a 的范围,求出函数的单调区间即可; (2)问题转化为比较

与x ,通过讨论x 的范围,结合函数的单调性比较其大小即可.

【解答】解:(1)h (x )=(x 2+ax ﹣2a 2+3a )e x ,

所以h' (x )=(2x +a )e x +(x 2+ax ﹣2a 2+3a )e x =(x +2a )[x ﹣(a ﹣2)]e x ┉┉┉ ①当时,则﹣2a <a ﹣2,在(﹣∞,a ﹣2)和(﹣2a ,+∞)上h' (x )>0,h (x )是增函数;

在(﹣2a ,a ﹣2)上,h' (x )>0,h (x )是减函数.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ ②当时,则﹣2a >a ﹣2,在(﹣∞,a ﹣2)和(﹣2a ,+∞)上h' (x )>0,h (x )是增函数;

在(a ﹣2,﹣2a )上,h' (x )>0,h (x )是减函数.

③当时,恒成立,且h (x )图象连续不断, 所以h (x )在(﹣∞,+∞)是增函数.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ (2),即比较与x 大小.

①当x ≤0时,显然有e f (x ﹣2)>0≥x ;┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ ②当x >0时,lne f (x ﹣2)=ex ﹣2,即比较e x ﹣2与lnx 大小.

设ϕ(x )=ex ﹣2﹣lnx ,,,

所以ϕ' (x )在(0,+∞)递增,而ϕ' (1)<0,ϕ' (2)>0,

ϕ' (x )在(0,+∞)有位移的实数根x 0,且1<x 0<2,,

∴x 0﹣2=﹣lnx 0.ϕ(x )在(0,x 0)递减,在(x 0,+∞)递增,┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉

即有ϕ' (x )=ex ﹣2﹣lnx >0,即e x ﹣2>lnx ,即有e f (x ﹣2)>x .

综上可得e f (x ﹣2)>x .┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 注:当x >0时,要证ϕ(x )=ex ﹣2﹣lnx >0,

也可转化为证:e x ﹣2≥x ﹣1≥lnx (等号不能同时取到)

[选修4-4:坐标系与参数方程]

22.已知在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程是(t 是参数)

以原点O 为极点,Ox 为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为

(1)求直线l 的普通方程和圆心C 的直角坐标;

(2)求圆C 上的点到直线l 距离的最小值.

【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.

【分析】(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式,两角和与差的公式,ρsinθ=y,ρcosθ=x消去参数即可得直线l 的普通方程和圆心C 的直角坐标

(2)利用圆心到直线的距离减去半径即可是最小值. 【解答】解:(1)直线l 的参数方程是(t 是参数),可得:

消去t 可得:y=x﹣

∴直线l 的普通方程为

又∵

,开展可得:ρ=cosθ﹣2sinθ

得:, 根据ρsinθ=y,ρcosθ=x,

∴圆C 的普通方程为

,即,

即:圆心C 的直角坐标为.半径r=2. (2)圆C 上的点到直线l 距离的最小值.即是圆心到直线的距离减去半径. 由(1)可得圆心C 的直角坐标为

.半径r=2. ∴圆心到直线的距离

, 又d ﹣r=2,

∴圆C 上的点到直线l 距离最小值为2.

[选修4-5:不等式选讲]

23.已知函数f (x )=|x ﹣a |﹣|x +1|,且f (x )不恒为0.

(1)若f (x )为奇函数,求a 值;

(2)若当x ∈[﹣1,2]时,f (x )≤3恒成立,求实数a 的取值范围.

【考点】函数恒成立问题.

【分析】(1)由奇函数的性质可得f (0)=0,结合条件可得a=1,检验即可; (2)由题意可得|x ﹣a |≤4+x 在x ∈[﹣1,2]时恒成立.即有﹣4﹣x ≤x ﹣a ≤x +4在x ∈[﹣1,2]时恒成立,运用参数分离和一次函数的单调性,可得最值,进而得到a 的范围.

【解答】解:(1)因为x ∈R ,若f (x )为奇函数,

则由f (0)=0,得|a |﹣1=0,

又f (x )不恒为0,得a=1.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉

此时f (﹣x )=|﹣x ﹣1|﹣|﹣x +1|=﹣f (x ),符合f (x )为奇函数,所以a=1.┉┉┉┉┉┉┉┉┉

(2)当x ∈[﹣1,2]时,f (x )≤3恒成立,

即|x ﹣a |≤4+x 在x ∈[﹣1,2]时恒成立.

故﹣4﹣x ≤x ﹣a ≤x +4在x ∈[﹣1,2]时恒成立,┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 即﹣4≤a ≤(4+2x )min ,x ∈[﹣1,2].

而x ∈[﹣1,2],(4+2x )min =2,所以a 的范围是[﹣4,2].┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉