从“曹冲称象”中学习比较大小
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摘要:基于“曹冲称象”的经验,比较离散量与连续量的区别,研究连续量比较大小的基本思路和方法。此法有助于高中学生迅速理解比较大小题目的实质,为高中学生学好数学推开一扇窗户。

关键词:曹冲称象;离散量;连续量;比较大小

中国百姓家喻户晓的历史典故“曹冲称象”, 出自西晋? 陈寿? 《三国志? 卷二十魏书二十武文世王公传第二十》:“邓哀王冲,字仓舒。少聪,察岐嶷,生五六岁,智意所及,有若成人之智。时孙权曾致巨象,太祖欲知其斤重,访之群下,咸莫能出其理。冲曰:‘置象大船之上,而刻其水痕所至,称物以载之,则校可知矣。’太祖大悦,即施行焉。”

其大意是说:曹操的儿子曹冲长到五六岁的时候,知识和判断能力所达到的程度,可以比得上成人。有一次,孙权送来了一头巨象,曹操想知道这象的重量,询问属下,都不能说出称象的办法。曹冲说:“把象放到大船上,在水面所达到的地方做上记号,再让船装载其他东西(故事中常说是石头)(当水面也达到记号的时候),称一下这些东西(石头),那么比较一下(东西的总质量差不多等于大象的质量)就能知道了。”曹操听了很高兴,马上照这个办法做了。

“曹冲称象”的故事,其实蕴含着实用的生活经验和深刻的数学原理。

数(sh ù),起源于数(sh ǔ);量(li àng ),来源于量(li áng )。

量,大体上可以分为两类:离散量和连续量。离散量,例如:苹果、人、石头等等,这类东西是一个个分离的、独立存在的。离散量的比较,只需要数数其个数即可。连续量,例如:水、空气等等,这些东西没有接缝,是不可一个个分离的,故有“抽刀断水水更流”之说。连续量的比较与测量,是比较困难的。例如:大象的重量就当时的技术水平而言,是很难测量的。

我们先来看看另外一个例子:要比较两根长短相差不大的棍子的长度,如下三种比较方式中,只有第三种是行之有效的。

(图一) (图二) (图三)

第三种比较方法的关键,在于将连续量放在了一起,并且“对齐一头”。虽然这是一个很简单的生活常识,但这个常识,对于我们解决高中数学中的比较大小问题,是一个很好的启示。

例1. 比较与的大小。

解:与大小的比较对于初学的学生不易一眼看出,此时,我们可以模仿刚才比较棍子长度的方法:“对齐一头”。,而由指数函数单调递增,即可知。

例2. 比较与的大小。

解:根据“对齐一头”的比较思路,,由对数函数在单调递增,可知。

例3. 比较与的大小。

解:根据“对齐一头”的比较思路,,而由对数函数在单调递增,可知。

在现实生活中,有些事物的比较,是不能像两根木棍那样放在一起并“对齐一头”那样简单的。如:江苏无锡灵山大佛的大拇指,与四川乐山大佛的大拇指是不能简单比较哪个长的。这个时候,“曹冲称象”的典故所蕴含的生活经验和数学思想,就可以给我们深刻的启示了。

大象的体重,就当时的技术水平,是很难测量的。而曹冲的聪明之处却在于,他用可分开测量的石头的重量,来代替不可分开测量的大象的体重,其实质是用离散量来测量连续量,而所选取的离散量,是与连续量有共同测量标准的。

其实,在生活中还有很多这样的例子。例如:货币的产生。在人类没有货币的时候,交易都是物物交换进行的,这是各种物品价值的直接比较,可是人们总是对自己所拥有的物品

的价值估值较高,这样的比较和交易是很麻烦的。于是,便出现了以贝壳、贵金属等作为中间物的价值比较,就形成了货币。

又如:在生活中,如果家里的玻璃损坏了,请换玻璃的师傅来换玻璃。师傅一定不会抱着一整块玻璃来家中比划,然后在整块玻璃上描绘出所需玻璃的大小,再裁玻璃。如果真有人这样做了,裁下的玻璃恐怕也不能合适地安装上去。事实上,裁玻璃的师傅一定会用一把尺子先量好所需玻璃的尺寸,再回去在整块玻璃上裁下大小适宜的一块玻璃。

不论是货币,还是量玻璃的尺子,它们都有一个共同的特点:就是可以与所比较的两个事物都“对齐一头”,有共同的价值尺度或测量标准。这就为我们解决数学中的比较大小问题提供了思路和经验。

例4. 比较与的大小。

解:此例无法将所比较的两个量“对齐一头”,此时,我们可以借鉴“曹冲称象”的经验,寻找如同货币、尺子之类的可以与所比较的两个量都对齐的东西。考虑到,则有 ,即解。

例5. 比较与的大小。

解:仿照例4,,比较双方均比1小,作为测量标准的1失效,此时,我们考虑:测量标准并非非1不可,关键是要能够与比较双方“对齐一头”,根据这个思路,我们可以将的底数取出,将的指数取出,组成一个新数,这个新数是可以与比较双方很好的“对齐一头”的。由指数函数单调性知,而由指数函数在第一象限“低大图高”,可知,即。

综上所述,比较大小题型的解题思路可以总结如下:1. 比较双方已然“对齐一头”的,可以利用函数单调性直接比出大小;2. 比较双方没有“对齐一头”的,可以通过变形使其“对齐一头”;3. 比较双方不能对其“对齐一头”的,可以尝试利用或作为中间的测量标准;4. 即使常见的测量标准或失效,我们也可以充分发挥主观能动性,人为地做出合适的标准进行测量。

数学,源于生活,又高于生活、用于生活。如果我们善于观察生活中的常见现象,勤于思考其中蕴含的数学思想,勇于用生活中的经验和智慧来分析数学、学习数学,那么数学将不再是一本难懂的天书,而是充满了悬疑和智慧的“侦探小说”。