暑假作业
初二 散文 13263字 177人浏览 sywuhenjian009

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中考导向专题训练

1.(2013•重庆)已知,如图,在▱ABCD 中,AE ⊥BC ,垂足为E ,CE=CD,点F 为CE 的中点,点G 为CD 上的一点,连接DF 、EG 、AG ,∠1=∠2.

(1)若CF=2,AE=3,求BE 的长;

(2)求证:∠CEG=∠AGE .

第2页(共60页) 2.(2013•新疆)如图,▱ABCD 中,点O 是AC 与BD 的交点,过点O 的直线与BA 、DC 的延长线分别交于点E 、F .

(1)求证:△AOE ≌△COF ;

(2)请连接EC 、AF ,则EF 与AC 满足什么条件时,四边形AECF 是矩形,并说明理由.

3.(2011•北京)在▱ABCD 中,∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ,交直线DC 于点F .

(1)在图1中证明CE=CF;

(2)若∠ABC=90°,G 是EF 的中点(如图2),直接写出∠BDG 的度数;

(3)若∠ABC=120°,FG ∥CE ,FG=CE,分别连接DB 、DG (如图3),求∠BDG 的度数.

第4页(共60页) 4.(2011•河南)如图,在Rt △ABC 中,∠B=90°,BC=5,∠C=30°.点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动,同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒(t >0).过点D 作DF ⊥BC 于点F ,连接DE 、EF .

(1)求证:AE=DF;

(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t 值;如果不能,说明理由.

(3)当t 为何值时,△DEF 为直角三角形?请说明理由.

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5.(2010•镇江)如图,在直角坐标系xOy 中,Rt △OAB 和Rt △OCD 的直角顶点A ,C 始终在x 轴的正半轴上,B ,D 在第一象限内,点B 在直线OD 上方,OC=CD,OD=2,M 为OD 的中点,AB 与OD 相交于E ,当点B 位置变化时,Rt △OAB 的面积恒为. 试解决下列问题:

(1)点D 坐标为( );

(2)设点B 横坐标为t ,请把BD 长表示成关于t 的函数关系式,并化简;

(3)等式BO=BD能否成立?为什么?

(4)设CM 与AB 相交于F ,当△BDE 为直角三角形时,判断四边形BDCF 的形状,并证明你的结论.

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6.(2015•玉林)如图,在矩形ABCD 中,AB=5,AD=3,点P 是AB 边上一点(不与A ,B 重合),连接CP ,过点P 作PQ ⊥CP 交AD 边于点Q ,连接CQ .

(1)当△CDQ ≌△CPQ 时,求AQ 的长;

(2)取CQ 的中点M ,连接MD ,MP ,若MD ⊥MP ,求AQ 的长.

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7.(2015•义乌市)正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共顶点A ,将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转,记旋转角∠DAG=α,其中0°≤α≤180°,连结DF ,BF ,如图.

(1)若α=0°,则DF=BF,请加以证明;

(2)试画一个图形(即反例),说明(1)中命题的逆命题是假命题;

(3)对于(1)中命题的逆命题,如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题,请直接写出你认为需要补充的一个条件,不必说明理由.

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8.(2012•锦州)已知:在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B 、C 重合).以AD 为边作正方形ADEF ,连接CF .

(1)如图1,当点D 在线段BC 上时,求证:①BD ⊥CF .②CF=BC﹣CD .

(2)如图2,当点D 在线段BC 的延长线上时,其它条件不变,请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系;

(3)如图3,当点D 在线段BC 的反向延长线上时,且点A 、F 分别在直线BC 的两侧,其它条件不变:①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系.②若连接正方形对角线AE 、DF ,交点为O ,连接OC ,探究△AOC 的形状,并说明理由.

第9页(共60页) 9.(2016•东营)如图1,△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,四边形ADEF 是正方形,点B 、C 分别在边AD 、AF 上,此时BD=CF,BD ⊥CF 成立.

(1)当△ABC 绕点A 逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明,若不成立,请说明理由;

(2)当△ABC 绕点A 逆时针旋转45°时,如图3,延长BD 交CF 于点H .

①求证:BD ⊥CF ;

②当AB=2,AD=3时,求线段DH 的长.

第10页(共60页) 10.(2016•衢州)如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)概念理解:如图2,在四边形ABCD 中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD 是垂美四边形吗?请说明理由.

(2)性质探究:试探索垂美四边形ABCD 两组对边AB ,CD 与BC ,AD 之间的数量关系. 猜想结论:(要求用文字语言叙述)

写出证明过程(先画出图形,写出已知、求证).

(3)问题解决:如图3,分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ,连接CE ,BG ,GE ,已知AC=4,AB=5,求GE 长.

第11页(共60页) 11.(2016•达州)△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ,C 重合),以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ,连接CF .

(1)观察猜想

如图1,当点D 在线段BC 上时,

①BC 与CF 的位置关系为:

②BC ,CD ,CF 之间的数量关系为:(将结论直接写在横线上)

(2)数学思考

如图2,当点D 在线段CB 的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.

(3)拓展延伸

如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,延长BA 交CF 于点G ,连接GE .若已知AB=2,CD=BC ,请求出GE 的长.

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12.(2016•泰州)已知正方形ABCD ,P 为射线AB 上的一点,以BP 为边作正方形BPEF ,使点F 在线段CB 的延长线上,连接EA 、EC .

(1)如图1,若点P 在线段AB 的延长线上,求证:EA=EC;

(2)若点P 在线段AB 上.

①如图2,连接AC ,当P 为AB 的中点时,判断△ACE 的形状,并说明理由;

②如图3,设AB=a,BP=b,当EP 平分∠AEC 时,求a :b 及∠AEC 的度数.

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13.(2016•乐山)如图,在直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴正半轴上,点B 的坐标是(5,2),点P 是CB 边上一动点(不与点C 、点B 重合),连结OP 、AP ,过点O 作射线OE 交AP 的延长线于点E ,交CB 边于点M ,且∠AOP=∠COM ,令CP=x,MP=y.

(1)当x 为何值时,OP ⊥AP ?

(2)求y 与x 的函数关系式,并写出x 的取值范围;

(3)在点P 的运动过程中,是否存在x ,使△OCM 的面积与△ABP 的面积之和等于△EMP 的面积?若存在,请求x 的值;若不存在,请说明理由.

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14.(2015•临沂)如图1,在正方形ABCD 的外侧,作两个等边三角形ADE 和DCF ,连接AF ,BE .

(1)请判断:AF 与BE 的数量关系是 ,位置关系是 ;

(2)如图2,若将条件“两个等边三角形ADE 和DCF ”变为“两个等腰三角形ADE 和DCF ,且EA=ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予说明;

(3)若三角形ADE 和DCF 为一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能成立吗?请直接写出你的判断.

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15.(2015•嘉兴)类比等腰三角形的定义,我们定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.

(1)概念理解:

如图1,在四边形ABCD 中,添加一个条件使得四边形ABCD 是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.

(2)问题探究:

①小红猜想:对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形,她的猜想正确吗?请说明理由. ②如图2,小红画了一个Rt △ABC ,其中∠ABC=90°,AB=2,BC=1,并将Rt △ABC 沿∠ABC 的平分线BB ′方向平移得到△A ′B ′C ′,连结AA ′,BC ′,小红要使平移后的四边形ABC ′A ′是“等邻边四边形”,应平移多少距离(即线段BB ′的长)?

(3)拓展应用:

如图3,“等邻边四边形”ABCD 中,AB=AD,∠BAD+∠BCD=90°,AC ,BD 为对角线,AC=AB ,试探究BC ,CD ,BD 的数量关系.

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16.(2015•衡阳)如图,四边形OABC 是边长为4的正方形,点P 为OA 边上任意一点(与点O 、A 不重合),连接CP ,过点P 作PM ⊥CP 交AB 于点D ,且PM=CP,过点M 作MN ∥OA ,交BO 于点N ,连接ND 、BM ,设OP=t.

(1)求点M 的坐标(用含t 的代数式表示).

(2)试判断线段MN 的长度是否随点P 的位置的变化而改变?并说明理由.

(3)当t 为何值时,四边形BNDM 的面积最小.

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17.(2015•丹东)在正方形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ;在Rt △PMN 中,∠MPN=90°.

(1)如图1,若点P 与点O 重合且PM ⊥AD 、PN ⊥AB ,分别交AD 、AB 于点E 、F ,请直接写出PE 与PF 的数量关系;

(2)将图1中的Rt △PMN 绕点O 顺时针旋转角度α(0°<α<45°).

①如图2,在旋转过程中(1)中的结论依然成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;

②如图2,在旋转过程中,当∠DOM=15°时,连接EF ,若正方形的边长为2,请直接写出线段EF 的长;

③如图3,旋转后,若Rt △PMN 的顶点P 在线段OB 上移动(不与点O 、B 重合),当BD=3BP时,猜想此时PE 与PF 的数量关系,并给出证明;当BD=m•BP 时,请直接写出PE 与PF 的数量关系.

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18.(2015•随州)问题:如图(1),点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上,∠EAF=45°,试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系.

【发现证明】

小聪把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ,从而发现EF=BE+FD,请你利用图(1)证明上述结论.

【类比引申】

如图(2),四边形ABCD 中,∠BAD ≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E 、F 分别在边BC 、CD 上,则当∠EAF 与∠BAD 满足EF=BE+FD.

【探究应用】

如图(3),在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD .已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC 、CD 上分别有景点E 、F ,且AE ⊥AD ,DF=40(﹣1)米,现要在E 、F 之间修一条笔直道路,求这条道路EF 的长(结果取整数,参考数据:=1.41,=1.73)

19.(2015•衢州)如图,在△ABC 中,AB=5,AC=9,S △ABC =,动点P 从A 点出发,沿射线AB 方向以每秒5个单位的速度运动,动点Q 从C 点出发,以相同的速度在线段AC 上由C 向A 运动,当Q 点运动到A 点时,P 、Q 两点同时停止运动,以PQ 为边作正方形PQEF (P 、Q 、E 、F 按逆时针排序),以CQ 为边在AC 上方作正方形QCGH .

(1)求tanA 的值;

(2)设点P 运动时间为t ,正方形PQEF 的面积为S ,请探究S 是否存在最小值?若存在,求出这个最小值,若不存在,请说明理由;

(3)当t 为何值时,正方形PQEF 的某个顶点(Q 点除外)落在正方形QCGH 的边上,请直接写出t 的值.

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20.(2015•义乌市)在平面直角坐标系中,O 为原点,四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上,OA=4,OC=2,点P ,点Q 分别是边BC ,边AB 上的点,连结AC ,PQ ,点B 1是点B 关于PQ 的对称点.

(1)若四边形OABC 为矩形,如图1,

①求点B 的坐标;

②若BQ :BP=1:2,且点B 1落在OA 上,求点B 1的坐标;

(2)若四边形OABC 为平行四边形,如图2,且OC ⊥AC ,过点B 1作B 1F ∥x 轴,与对角线AC 、边OC 分别交于点E 、点F .若B 1E :B 1F=1:3,点B 1的横坐标为m ,求点B 1的纵坐标,并直接写出m 的取值范围.

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21.(2015•绵阳)如图,在边长为2的正方形ABCD 中,G 是AD 延长线上的一点,且DG=AD,动点M 从A 点出发,以每秒1个单位的速度沿着A →C →G 的路线向G 点匀速运动(M 不与A ,G 重合),设运动时间为t 秒,连接BM 并延长AG 于N .

(1)是否存在点M ,使△ABM 为等腰三角形?若存在,分析点M 的位置;若不存在,请说明理由;

(2)当点N 在AD 边上时,若BN ⊥HN ,NH 交∠CDG 的平分线于H ,求证:BN=HN;

(3)过点M 分别作AB ,AD 的垂线,垂足分别为E ,F ,矩形AEMF 与△ACG 重叠部分的面积为S ,求S 的最大值.

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22.(2015•泰州)如图,正方形ABCD 的边长为8cm ,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的动点,且AE=BF=CG=DH.

(1)求证:四边形EFGH 是正方形;

(2)判断直线EG 是否经过一个定点,并说明理由;

(3)求四边形EFGH 面积的最小值.

第23页(共60页) 23.(2015•辽阳)菱形ABCD 中,两条对角线AC ,BD 相交于点O ,∠MON+∠BCD=180°,∠MON 绕点O 旋转,射线OM 交边BC 于点E ,射线ON 交边DC 于点F ,连接EF .

(1)如图1,当∠ABC=90°时,△OEF 的形状是 ;

(2)如图2,当∠ABC=60°时,请判断△OEF 的形状,并说明理由;

(3)在(1)的条件下,将∠MON 的顶点移到AO 的中点O ′处,∠MO ′N 绕点O ′旋转,仍满足∠MO ′N+∠BCD=180°,射线O ′M 交直线BC 于点E ,射线O ′N 交直线CD 于点F ,当BC=4,且=时,直接写出线段CE 的长.

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24.(2015•宁德)如图,在菱形ABCD 中,M ,N 分别是边AB ,BC 的中点,MP ⊥AB 交边CD 于点P ,连接NM ,NP .

(1)若∠B=60°,这时点P 与点C 重合,则∠NMP= 度;

(2)求证:NM=NP;

(3)当△NPC 为等腰三角形时,求∠B 的度数.

第25页(共60页) 25.(2015•葫芦岛)在△ABC 中,AB=AC,点F 是BC 延长线上一点,以CF 为边,作菱形CDEF ,使菱形CDEF 与点A 在BC 的同侧,连接BE ,点G 是BE 的中点,连接AG 、DG .

(1)如图①,当∠BAC=∠DCF=90°时,直接写出AG 与DG 的位置和数量关系;

(2)如图②,当∠BAC=∠DCF=60°时,试探究AG 与DG 的位置和数量关系,

(3)当∠BAC=∠DCF=α时,直接写出AG 与DG 的数量关系.

第26页(共60页) 26.(2015•长春)如图,在等边△ABC 中,AB=6,AD ⊥BC 于点D .点P 在边AB 上运动,过点P 作PE ∥BC ,与边AC 交于点E ,连结ED ,以PE 、ED 为邻边作▱PEDF .设▱PEDF 与△ABC 重叠部分图形的面积为y ,线段AP 的长为x (0<x <6).

(1)求线段PE 的长.(用含x 的代数式表示)

(2)当四边形PEDF 为菱形时,求x 的值.

(3)求y 与x 之间的函数关系式.

(4)设点A 关于直线PE 的对称点为点A ′,当线段A ′B 的垂直平分线与直线AD 相交时,设其交点为Q ,当点P 与点Q 位于直线BC 同侧(不包括点Q 在直线BC 上)时,直接写出x 的取值范围.

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27.(2015•郴州)如图,在四边形ABCD 中,DC ∥AB ,DA ⊥AB ,AD=4cm,DC=5cm,AB=8cm.如果点P 由B 点出发沿BC 方向向点C 匀速运动,同时点Q 由A 点出发沿AB 方向向点B 匀速运动,它们的速度均为1cm/s,当P 点到达C 点时,两点同时停止运动,连接PQ ,设运动时间为t s,解答下列问题:

(1)当t 为何值时,P ,Q 两点同时停止运动?

(2)设△PQB 的面积为S ,当t 为何值时,S 取得最大值,并求出最大值;

(3)当△PQB 为等腰三角形时,求t 的值.

第28页(共60页) 28.(2015•包头)如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠A=90°,AD=1厘米,AB=3厘米,BC=5厘米,动点P 从点B 出发以1厘米/秒的速度沿BC 方向运动,动点Q 从点C 出发以2厘米/秒的速度沿CD 方向运动,P ,Q 两点同时出发,当点Q 到达点D 时停止运动,点P 也随之停止,设运动时间为t 秒(t >0).

(1)求线段CD 的长;

(2)t 为何值时,线段PQ 将四边形ABCD 的面积分为1:2两部分?

(3)伴随P ,Q 两点的运动,线段PQ 的垂直平分线为l .

①t 为何值时,l 经过点C ?

②求当l 经过点D 时t 的值,并求出此时刻线段PQ 的长.

第29页(共60页) 29.(2015•沈阳)如图,在▱ABCD 中,AB=6,BC=4,∠B=60°,点E 是边AB 上的一点,点F 是边CD 上一点,将▱ABCD 沿EF 折叠,得到四边形EFGH ,点A 的对应点为点H ,点D 的对应点为点G .

(1)当点H 与点C 重合时.

①填空:点E 到CD 的距离是

②求证:△BCE ≌△GCF ;

③求△CEF 的面积;

(2)当点H 落在射线BC 上,且CH=1时,直线EH 与直线CD 交于点M ,请直接写出△MEF 的面积.

第30页(共60页)

30.(2015•攀枝花)如图1,矩形ABCD 的两条边在坐标轴上,点D 与坐标原点O 重合,且AD=8,AB=6.如图2,矩形ABCD 沿OB 方向以每秒1个单位长度的速度运动,同时点P 从A 点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD 的边AB 经过点B 向点C 运动,当点P 到达点C 时,矩形ABCD 和点P 同时停止运动,设点P 的运动时间为t 秒.

(1)当t=5时,请直接写出点D 、点P 的坐标;

(2)当点P 在线段AB 或线段BC 上运动时,求出△PBD 的面积S 关于t 的函数关系式,并写出相应t 的取值范围;

(3)点P 在线段AB 或线段BC 上运动时,作PE ⊥x 轴,垂足为点E ,当△PEO 与△BCD 相似时,求出相应的t 值.

第31页(共60页)

31.(2015•潍坊)如图1,点O 是正方形ABCD 两对角线的交点,分别延长OD 到点G ,OC 到点E ,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ,连接AG ,DE .

(1)求证:DE ⊥AG ;

(2)正方形ABCD 固定,将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE ′F ′G ′,如图2.

①在旋转过程中,当∠OAG ′是直角时,求α的度数;

②若正方形ABCD 的边长为1,在旋转过程中,求AF ′长的最大值和此时α的度数,直接写出结果不必说明理由.

第32页(共60页)

32.(2015•河南)如图1,在Rt △ABC 中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点,连接DE ,将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转,记旋转角为α.

(1)问题发现

①当α=0°时,

=;②当α=180°时,=.

(2)拓展探究

试判断:当0°≤α<360°时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明. (3)问题解决

当△EDC 旋转至A ,D ,E 三点共线时,直接写出线段BD 的长.

第33页(共60页) 33.(2015•盘锦)如图1,△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,点B 在线段AE 上,点C 在线段AD 上.

(1)请直接写出线段BE 与线段CD 的关系: ;

(2)如图2,将图1中的△ABC 绕点A 顺时针旋转角α(0<α<360°),

①(1)中的结论是否成立?若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由;

②当AC=ED 时,探究在△ABC 旋转的过程中,是否存在这样的角α,使以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出角α的度数;若不存在,请说明理由.

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34.(2015•自贡)在△ABC 中,AB=AC=5,cos ∠ABC=,将△ABC 绕点C 顺时针旋转,得到△A 1B 1C .

(1)如图①,当点B 1在线段BA 延长线上时.①求证:BB 1∥CA 1;②求△AB 1C 的面积;

(2)如图②,点E 是BC 边的中点,点F 为线段AB 上的动点,在△ABC 绕点C 顺时针旋转过程中,点F 的对应点是F 1,求线段EF 1长度的最大值与最小值的差.

第35页(共60页)

35.(2015•南通)如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=15,BC=9,点P ,Q 分别在BC ,AC 上,CP=3x,CQ=4x(0<x <3).把△PCQ 绕点P 旋转,得到△PDE ,点D 落在线段PQ 上.

(1)求证:PQ ∥AB ;

(2)若点D 在∠BAC 的平分线上,求CP 的长;

(3)若△PDE 与△ABC 重叠部分图形的周长为T ,且12≤T ≤16,求x 的取值范围.

第36页(共60页) 36.(2015•南充)如图,点P 是正方形ABCD 内一点,点P 到点A 、B 和D 的距离分别为1,2,,△ADP 沿点A 旋转至△ABP ′,连结PP ′,并延长AP 与BC 相交于点Q .

(1)求证:△APP ′是等腰直角三角形;

(2)求∠BPQ 的大小;

(3)求CQ 的长.

第37页(共60页)

37.(2015•潜江)已知∠MAN=135°,正方形ABCD 绕点A 旋转.

(1)当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的外部(顶点A 除外)时,AM ,AN 分别与正方形ABCD 的边CB ,CD 的延长线交于点M ,N ,连接MN .

①如图1,若BM=DN,则线段MN 与BM+DN之间的数量关系是

②如图2,若BM ≠DN ,请判断①中的数量关系是否仍成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;

(2)如图3,当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的内部(顶点A 除外)时,AM ,AN 分别与直线BD 交于点M ,N ,探究:以线段BM ,MN ,DN 的长度为三边长的三角形是何种三角形,并说明理由.

第38页(共60页)

38.(2015•连云港)在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD 与边长为2的正方形AEFG 按图1位置放置,AD 与AE 在同一直线上,AB 与AG 在同一直线上.

(1)小明发现DG ⊥BE ,请你帮他说明理由.

(2)如图2,小明将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转,当点B 恰好落在线段DG 上时,请你帮他求出此时BE 的长.

(3)如图3,小明将正方形ABCD 绕点A 继续逆时针旋转,线段DG 与线段BE 将相交,交点为H ,写出△GHE 与△BHD 面积之和的最大值,并简要说明理由.

第39页(共60页)

39.(2015•益阳)已知点P 是线段AB 上与点A 不重合的一点,且AP <PB .AP 绕点A 逆时针旋转角α(0°<α≤90°)得到AP 1,BP 绕点B 顺时针也旋转角α得到BP 2,连接PP 1、PP 2.

(1)如图1,当α=90°时,求∠P 1PP 2的度数;

(2)如图2,当点P 2在AP 1的延长线上时,求证:△P 2P 1P ∽△P 2PA ;

(3)如图3,过BP 的中点E 作l 1⊥BP ,过BP 2的中点F 作l 2⊥BP 2,l 1与l 2交于点Q ,连接PQ ,求证:P 1P ⊥PQ .

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40.(2015•恩施州)矩形AOCD 绕顶点A (0,5)逆时针方向旋转,当旋转到如图所示的位置时,边BE 交边CD 于M ,且ME=2,CM=4.

(1)求AD 的长;

(2)求阴影部分的面积和直线AM 的解析式;

(3)求经过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式;

(4)在抛物线上是否存在点P ,使S △PAM =

?若存在,求出P 点坐标;若不存在,请说

明理由.

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41.(2015•梅州)在Rt △ABC 中,∠A=90°,AC=AB=4,D ,E 分别是AB ,AC 的中点.若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转,得到等腰Rt △AD 1E 1,设旋转角为α(0<α≤180°),记直线BD 1与CE 1的交点为P .

(1)如图1,当α=90°时,线段BD 1的长等于 ,线段CE 1的长等于 ;(直接填写结果)

(2)如图2,当α=135°时,求证:BD 1=CE1,且BD 1⊥CE 1;

(3)①设BC 的中点为M ,则线段PM 的长为 ;②点P 到AB 所在直线的距离的最大值为 .(直接填写结果)

第42页(共60页) 42.(2015•铁岭)已知:点D 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 所在直线上一点(不与点B 重合),连接AD .

(1)如图1,当点D 在线段BC 上时,将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°得到线段AE ,连接CE .求证:BD=CE,BD ⊥CE .

(2)如图2,当点D 在线段BC 延长线上时,探究AD 、BD 、CD 三条线段之间的数量关系,写出结论并说明理由;(3)若BD=CD ,直接写出∠BAD 的度数.

第43页(共60页) 43.(2015•贵阳)如图,在矩形纸片ABCD 中,AB=4,AD=12,将矩形纸片折叠,使点C 落在AD 边上的点M 处,折痕为PE ,此时PD=3.

(1)求MP 的值;

(2)在AB 边上有一个动点F ,且不与点A ,B 重合.当AF 等于多少时,△MEF 的周长最小?

(3)若点G ,Q 是AB 边上的两个动点,且不与点A ,B 重合,GQ=2.当四边形MEQG 的周长最小时,求最小周长值.(计算结果保留根号)

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44.(2015•烟台)【问题提出】

如图①,已知△ABC 是等腰三角形,点E 在线段AB 上,点D 在直线BC 上,且ED=EC,将△BCE 绕点C 顺时针旋转60°至△ACF 连接EF

试证明:AB=DB+AF

【类比探究】

(1)如图②,如果点E 在线段AB 的延长线上,其他条件不变,线段AB ,DB ,AF 之间又有怎样的数量关系?请说明理由

(2)如果点E 在线段BA 的延长线上,其他条件不变,请在图③的基础上将图形补充完整,并写出AB ,DB ,AF 之间的数量关系,不必说明理由.

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45.(2015•赤峰)如图,四边形ABCD 是边长为2,一个锐角等于60°的菱形纸片,小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D 重合,按顺时针方向旋转三角形纸片,使它的两边分别交CB 、BA (或它们的延长线)于点E 、F ,∠EDF=60°,当CE=AF时,如图1小芳同学得出的结论是DE=DF.

(1)继续旋转三角形纸片,当CE ≠AF 时,如图2小芳的结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;

(2)再次旋转三角形纸片,当点E 、F 分别在CB 、BA 的延长线上时,如图3请直接写出DE 与DF 的数量关系;

(3)连EF ,若△DEF 的面积为y ,CE=x,求y 与x 的关系式,并指出当x 为何值时,y 有最小值,最小值是多少?

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46.(2016•枣庄)如图,已知抛物线y=ax2

+bx+c(a ≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A (1,0),C (0,3)两点,与x 轴交于点B .

(1)若直线y=mx+n经过B 、C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求出点M 的坐标;

(3)设点P 为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标.

第47页(共60页) 47.(2016•苏州)如图,直线l :y=﹣3x+3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点,抛物线y=ax2

﹣2ax+a+4(a <0)经过点B .

(1)求该抛物线的函数表达式;

(2)已知点M 是抛物线上的一个动点,并且点M 在第一象限内,连接AM 、BM ,设点M 的横坐标为m ,△ABM 的面积为S ,求S 与m 的函数表达式,并求出S 的最大值;

(3)在(2)的条件下,当S 取得最大值时,动点M 相应的位置记为点M ′.

①写出点M ′的坐标;

②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l ′,当直线l ′与直线AM ′重合时停止旋转,在旋转过程中,直线l ′与线段BM ′交于点C ,设点B 、M ′到直线l ′的距离分别为d 1、d 2,当d 1+d2最大时,求直线l ′旋转的角度(即∠BAC 的度数).

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48.(2016•娄底)如图,抛物线y=ax2

+bx+c(a 、b 、c 为常数,a ≠0)经过点A (﹣1,0),B (5,﹣6),C (6,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图,在直线AB 下方的抛物线上是否存在点P 使四边形PACB 的面积最大?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)若点Q 为抛物线的对称轴上的一个动点,试指出△QAB 为等腰三角形的点Q 一共有几个?并请求出其中某一个点Q 的坐标.

第49页(共60页) 49.(2016•衡阳)如图,抛物线y=ax2

+bx+c经过△ABC 的三个顶点,与y 轴相交于(0,),点A 坐标为(﹣1,2),点B 是点A 关于y 轴的对称点,点C 在x 轴的正半轴上.

(1)求该抛物线的函数关系表达式.

(2)点F 为线段AC 上一动点,过F 作FE ⊥x 轴,FG ⊥y 轴,垂足分别为E 、G ,当四边形OEFG 为正方形时,求出F 点的坐标.

(3)将(2)中的正方形OEFG 沿OC 向右平移,记平移中的正方形OEFG 为正方形DEFG ,当点E 和点C 重合时停止运动,设平移的距离为t ,正方形的边EF 与AC 交于点M ,DG 所在的直线与AC 交于点N ,连接DM ,是否存在这样的t ,使△DMN 是等腰三角形?若存在,求t 的值;若不存在请说明理由.

第50页(共60页) 50.(2016•株洲)已知二次函数y=x2﹣(2k+1)x+k2

+k(k >0)

(1)当k=时,求这个二次函数的顶点坐标;

(2)求证:关于x 的一元次方程x 2﹣(2k+1)x+k2+k=0有两个不相等的实数根;

(3)如图,该二次函数与x 轴交于A 、B 两点(A 点在B 点的左侧),与y 轴交于C 点,P 是y 轴负半轴上一点,且OP=1,直线AP 交BC 于点Q ,求证:.