莫让“伪图”遮望眼——最终稿
高三 散文 2971字 40人浏览 liyouxi5

莫让“伪图”遮望眼

——谈中学数学中图形的正确利用

赵加营 王海平(江苏省宿迁中学)

在高等数学中,“伪图”是图论的一个基本概念。在非数学领域,“伪图”是指对真实图像删减、拼接、合成等处理过的图像。在新闻报道中,“伪图”往往起到达成既定目的的特定作用(负面作用偏多)。本文所说的“伪图”不是这两个范畴。我们知道,数学中数形结合是最重要、最基本的思想方法之一,在中学数学教学和学生学习中起到非常重要的作用。“数缺形时少直观,形离数时难入微”,以形助数已经成为解决众多数学问题的重要解题策略。但是,无论是教师的教学还是学生的学习中,有时会凭感觉、表象、错觉等绘制出不符合实际的图形,不妨把这种图形称为“伪图”。“伪图”常常成为师生解题的“陷阱”,利用“伪图”解决问题往往以失败告终。结合教学实践及学生的“落陷”,归纳出以下几方面的“伪图”,以期与同行切磋,供同学们参考。

1 直与曲的陷阱

问题1 已知两点O(0,0)和

个不同交点,求实数a 错解分析读题后容易画出图1。根据该图,则需满足以下条件:

1)该二次函数在x =0(2)该二次函数在x =2(3)该抛物线的对称轴x =-(4)当2x a =-为y=x) 即等价于2420124220221(2) (2) 4224a a a a a a a a a ì-+? ïïïï+-+? ïïïí<-<ïïïï-+--+<-ïïïî本题真的无解吗?非也!错误的原因是图1是“伪图”。从求出的a 纹也说明图中这种情形是不存在的。

正解探求:原问题等价于方程组14y y x

ìïï=ïíïï=ïî即二元一次方程24(1) 8(12) x a x a +-+-=实数解。设2() 4(1) 8(12f x x a x a =+-+-112a <?

反思提炼:图2是正确的图形,即“真图”。抛物线的对称轴在y 轴的左侧,而不是在y 轴的右侧。一厢情愿的随手画图,给我们解决问题设置了思维的陷阱。直线与其他曲线的位置关系也需谨慎思考。

2 曲与曲的诱惑

问题2 (2014辽宁卷文科第12题)当[2,1]x ? 时,不等式3

2

430ax x x -++? 恒成立,则实数a 的取值范围是 ( )

A .[5, 3]-- B .9

[6, ]8

-- C .[6, 2]-- D .[4, 3]-- 错解分析:

结论,但很困惑: 原不等式转化为:3

2

43ax x

x ? -以0a <根据图像可知3232(2) (2) 411413a a ìï? ? -? ïíï闯

-? ïî故选B 。

但很可惜,不正确!她不知道为什么。一开始画图,我就知道用上“伪图”当了。

事实上,设3

2

() , () 4f x ax g x x x ==-保证区间[2,1]-上() f x 现图4的情况。

正解探求当

(0,1]

x Î时,

3a ?

321

, 34, [1,) t a t t t t x

=

? -+? ? 值为6-,因此6a ? ;同理,当[2,0) x ? 求得2a ?

;当0x =时,任意实数a 故选C 。

反思提炼3 连与断的迷茫

问题3 已知数列{}n a 的通项公式为2n a p n =-,数列{}n b 的通项公式为32n n b -=。设

, , n n n

n n n n

a a b c b a b ìïï=í

ï>ïî≤,若数列{}n c 中最大项为5c ,则实数p 的取值集合为

错解分析:集合为{14}已知函数

112

1() , () (), () () f x f x f x f x f x f x f x ìïï=íï>ïî≤取值集合为 。

正解探求(1)当55a b =时,如图(2)当55a b ¹时,

①若55a b >时,如图6,②若55a b <时,如图7,综上所述,实数p 反思提炼:在图形上的本质区别:异。

4 渐近线的缺失

问题4 对于函数(y f =() f x 的值域为[, ](ka kb k >() ln f x x x =+是k 错解分析:由于() ln f x =则ln ln ka a a kb b b ì=+ïïíï=+ïî,等价于关于两个不同的解,即ln x x k x

+=设ln () x x g x x +=,则() 0, e 上是增函数,() , e +?

结合图形可得 max () k g x <=

正解探求:事实上,ln , ()

11x

x g x x

? ? +>,在1y =的上方,直线1y =ln () x x

g x x

+=

的图像如图9: 结合图形可得:1

11k e

<<+反思提炼:5 反函数的障碍

函数与原函数的图象关于直线y=x12

log y x =有交点,如:2x y =与2log y x =交点一定在直线y=x数共有三个交点A 、B 、C ,其中点x y a =与log a y x =的图象,

(1)当(0,) e a e -Î时,有3个交点; (2)当[,1) e a e -Î时,有1个交点; (3)当1(1,) e

a e Î时,有2个交点; (4)当1e

a e =时,有1个交点; (5)当1(, ) e a e ? ? 时,无交点;

反思提炼:教学中,在研究函数图象问题时,如果需要精确定位若干个函数图象的关系,而这些函数的图象手工绘制又很困难时,就需要借助于教学软件绘制图形。当然,还要进行一定的理论研究,才能得出正确的结论。这也是新课程背景下,教会学生使用一些教学软件,促进学生动手操作、合作探究的大好时机,从而实现学生动手做数学实验。

6 可行域的困惑

问题5 已知12

(0,1),(1,2) x x 挝错解分析:设(f

(0)20(1)1(2)42f b f a f a ì=>ïïï

=++íïï=+ïïî图11,点(a,b 界)。

22(2.5) a b +-P (0,2.5由

(A -2

2

7.25(2.5) a b <+-正解探求:因为要看点P 到直线AC 的距离以及过点P 作直线AC 的垂线的垂足Q 是否在线段AC 上了!

事实上,点P 到直线AC 的距236

7.25

d =

= 过点P 与直线AC 垂直的直线方程为b =由22.5120b a a b ì=+ïïíï++=ïî得65110a b ìïï=-ïïíïï=ïïïî

,即点P 在线段AC 上,如图12

所以,227.2(2.5) 21.25a b <+-<

反思提炼(如本例中的上确界)的数学特点,就可以得到完整、准确的答案。

参考文献

[1] 黄俊明. 关于指数函数与对数函数图像的交点个数问题[J]. 凯里学院学报,2007(12):7-8

作者简历:

姓名:赵加营 邮编:223800

电话:13851359750 电子信箱:13851359750@139.com

性别:男

地址:江苏省宿迁中学新校区(宿迁市宿城新区微山湖路201号)

职务:江苏省宿迁中学教务处副主任

职称:中小学正高级教师

学历学位:大学本科 理学学士

主要研究方向:中学数学课堂教学、数学教育

附件:

关键词:把凭感觉、表象、错觉等绘制出不符合实际的图形称为“伪图”, “伪图”常常成为师生解题的“陷阱” ,利用“伪图”解决问题往往以失败告终。需要我们缜密思考、精确作图,借助“真图”,正确解决问题。