高中数学知识点总结—让我再看你一眼
初三 散文 10766字 72人浏览 孔雀1378380

高中数学知识点总结 第1页 共12页 答 题 技 巧

一、技术矫正:

考试中时间分配及处理技巧非常重要, 有几点需要必须提醒同学们注意:

⑴、按序答题, 先易后难:一定要选择熟题先做、有把握的题目先做;

⑵、不能纠缠在某一题、某一细节上,该跳过去就先跳过去,千万不能感觉自己被卡住,这样会心慌,影响下面做题的情绪;

⑶、避免“回头想”现象。一定要争取一步到位,不要先做一下,等回过头来再想再检查,高考时间较紧张,也许待会儿根本顾不上再来思考;

⑷、做某一选择题时如果没有十足的把握,初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记,有时间再推敲,不要空答案,否则要是时间来不及瞎写答案只能增加错误的概率。

二、规范化提醒:

这是取得高分的基本保证,规范化包括:①解题过程有必要的文字说明或叙述; ②注意解完后再看一下题目,看你的解答是否符合题意,谨防因解题不全或失误,答题或书写不规范而失分,总之,要吃透题“情”;③合理分配时间,做到一准、二快、三规范,特别是要注意解题结果的规范化。

例如:

⑴、解与解集:方程的结果一般用解表示(除非强调求解集) ;不等式、三角方程的结果一般用解集(集合或区间) 表示. 三角方程的通解中必须加k Z ∈. 在写区间或集合时, 要正确地书写圆括号、方括号或大括号, 区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开;

⑵、解题结束后一定要写上符合题意的“答”,如利用法向量求出的空间角的余弦,应用题等都要作答;

⑶、分类讨论题, 最后一定要写综合性结论;

⑷、任何结果要最简.

如211422==等.

⑸、排列组合题, 无特别声明, 要求出数值.

⑹、函数解析式后面一般要注明定义域;

⑺、参数方程化普通方程, 要考虑消参数过程中最后的限制范围;

⑻、注意轨迹与轨迹方程的区别:轨迹方程一般用普通方程表示, 轨迹则需要说明图形形状,且有条件限制的轨迹方程必须注明x 或y 的范围.

高中数学知识点总结 第2页 共12页 三、考前寄语:

①、先易后难,先熟后生;

②、一慢一快:审题要慢,做题要快;

③、不能小题难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做;

④、我易人易我不大意,我难人难我不畏难;

⑤、考试不怕题不会,就怕会题做不对;

⑥、基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分;

⑦、对数学解题有困难的考生的建议:立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略。

高中数学知识点总结

(带有*号的知识点是理科考查内容)

1.对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、,,,如:集合lg |) , (lg |lg |======中元素各表示什么?

2.进行集合的文、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集φ的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

{}{}1|032|2===--=ax x B x x x A ,如:集合

B A a ⊆若,则实数的值构成的集合为 ),(答:⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-3101 3.函数f (x ) 具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?

(f (x ) 定义域关于原点对称)

函数图象关于原点对为奇函数总成立若⇔⇔-=-) () () (x f x f x f

轴对称函数图象关于为偶函数总成立若y x f x f x f ⇔⇔=-) () () (

注意结论:

() (0) 0

f x f =若是奇函数且定义域中有原点,则。 ,时,,上的奇函数,当,为定义在如:1

42) () 10() 11() (+=∈-x x

x f x x f 求) (x f 在) 1, 1(-上 的解析式。

()()142) (1001+=-∈--∈--x x

x f x x ,,,则,(令 x x x x x f x f 412142) () (+-=+-=--∴为奇函数,又

高中数学知识点总结 第3页 共12页 又⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈+=-∈+-=∴=) 1, 0(, 1

42) 0(, 0) 0, 1(, 142) (, 0) 0(x x x x f f x x x x

4.你熟悉周期函数的定义吗?

()为周期

,则),在定义域内总有((若存在实数) () (0x f x f T x f T T =+≠函数,T 是一个周期。)

()()() (0) k

f x a f x f x k f x +=-=±≠如:若或者,则.

的一个周期)

为是周期函数,(答:) (2) (x f a T x f =

高中数学知识点总结 第4页

5.你掌握常用的图象变换了吗? 对称轴的图象关于与y x f x f ) () (- 对称轴的图象关于与x x f x f ) () (- 对称原点的图象关于与) () (x f x f --

对称直线的图象关于与a x x a f x

f =-) 2() (

对称,点的图象关于与) 0() 2() (a x a f x f --

) () () 0() () 0(a x f y a x f y a a x f y a a -=+=>−−−−−−−−−→

−=>个单位右移图象将个单位左移 注意如下“翻折”变换: |)

(|) ()

() (x f x f x f x f −→−−→−

()1l o g ) (2+=x x f 如:

(图象及作出log 1log 22+=+=x y x y

6.①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程

轴的图象与为二次函数、时,两根,x c bx ax y x x c bx ax ++=>∆=++221200

解集的端点值。不等式的两个交点,也是二次) 0(02<>++c bx ax ②求闭区间[m ,n ]上的最值。

③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。如:

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-≥∆⇔=++0) (2002

k f k a b k c bx ax 的两根都大于二次方程 0) (<⇔k f k k ,一根小于一根大于 ⑤

()0k y x k x =+>“双勾函数” 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值 的区别是什么?

y=log2x

高中数学知识点总结 第5页 共12页

7.你在基本运算上常出现错误吗?

) 01) 010≠=≠=-a a a a a p p ((,指数运算: ) 01) 0>=≥=-a a a a a a m n m m n m ((,

()00l o g l o g l o g >>+=N M N M N M a a a ,·对数运算: M n M N M N M a a a a a l o g 1l o g l o g l o g l o g =-=, x a x a =l o g 对数恒等式:

b m n b a

b b a n a c c a m l o g l o g l o g l o g l o g =⇒=对数换底公式: 8.你记得半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗?)·,(扇22

121R R l S R l === 9.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗?

1cos 1sin ≤≤x x Z k k ∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛,,对称点为02π ()Z k k k x y ∈⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+-=2222s i n ππππ,的增区间为 ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣

⎡++23222ππππ,减区间为 ()()Z k k x k ∈+=0πππ,对称轴为,图象的对称点为

[]()Z k k k x y ∈+=πππ22c o s ,的增区间为 ()Z k k k ∈++ππππ222,减区间为

()Z k k x k ∈=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+πππ,对称轴为,图象的对称点为02 Z k k k x y ∈⎪⎭⎫ ⎝

⎛+-=22t a n ππππ,的增区间为

高中数学知识点总结 第6页 共12页

sin y x = 10.熟练掌握三角函数图象变换了吗?(平移变换、伸缩变换)

11.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?

221sin cos tan sin cos 0142

ππαα=+====如:„„称为的代换 2

k π

α᱓·”化为的三角函数——“奇变偶不变,符号看象限”, “奇”、“偶”指k 取奇、偶数。 ()97cos tan sin 2146. π

ππ=+-+⎛⎫ ⎪⎝⎭如:

s i n t a n c o s c o t

. y y αααα+=

+又如:函数,则的值为 A .正值或负值 B .负值 C .非负值 D .正值

())∵,(001s i n c o s 1c o s s i n s i n c o s c o s s i n s i n 22≠>++=++=αααααα

αααy 12.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解斜三角形?

bc

a c b A A bc c b a 2cos cos 2222222-+=⇒-+=余弦定理: (应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角. )

⎪⎩

⎪⎨⎧===⇔===C R c B R b A R a R C c B b A a s i n 2s i n 2s i n 22s i n s i n s i n 正弦定 C b a S s i n 21·=∆ 13.利用均值不等式: ()求最值时,你是否注;;,2

22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤≥+∈≥++b a a b a b b a R b a a b b a 意到 ∈b a ,“”+R 其中之一为定或和件,积且“等号成立”时的条) () (b a ab +值? (一正、二定、三相等) 注意如下结论:

高中数学知识点总结 第7页 共12页 (1)()+∈+≥≥+≥+R b a b

a ab ab b a b a ,22222 . 时等号成立当且仅当b a = (2)()R b a ca bc ab c b a ∈++≥++,222 . 时取等号。当且仅当c b a ==

(3) ,则,,000>>>>n m b a b

a n b n a m a m b a b <++<<++<1 4023. x x x >--如:若,则的最大值为

4222432-=-≤⎪⎭⎫ ⎝

⎛+-=x x y (设)时,∴,,又当且仅当423

2043max -==>=y x x x x 2124y x x y +=+又如:,则的最小值为)

最小值为∴,∵(22222222122=≥++y x y x 14.不等式证明的基本方法都掌握了吗?

(比较法、分析法、综合法、数学归纳法、简单的放缩法等), 特别注意数学归纳法的基本步骤。

2131211 222<++++n

„如:证明 n n n

113212111131211222-++⨯+⨯+<++++„„„„( )„„21211131212111<-=--++-+-+=n

n n 15.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

讨论或如:对数或指数的底分

101<<>a a 16.对含有两个绝对值的不等式如何去解?

(找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。)

1|3|<+--x x 例如:解不等式)(解集为⎭⎬⎫⎩

⎨⎧>21|x x 17.不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“△”问题)

的最小值恒成立如:) () (x f a x f a <⇔<

的最大值恒成立) () (x f a x f a >⇔>

高中数学知识点总结 第8页 共12页 的最小值能成立) () (x f a x f a >⇔>

的取值范围是恒成立,则例如:对于一切实数a a x x x >++-23 距离之和和点它表示数轴上到两定(设3223-++-=x x u ()55523m i n <>=--=a a u ,即∴,

()()323255x x x x a -++≥--+=<, ∴

18.等差数列的定义与性质

()d n a a d d a a n n n 1) ( 11-+==-+,为常数定义:

y x A y A x +=⇔2成等差数列,,等差中项:

()()d n n na n

a a S n n n 2

1211-+=+=项和前 {}是等差数列性质:n a

,则)若(q p n m a a a a q p n m +=++=+1 {}{}{}仍为等差数列;

,,)数列(b ka a a n n n +-2122 仍为等差数列;„„,,n n n n n S S S S S 232-- ;,,,可设为)若三个数成等差数列(d a a d a +-3

;项和,则为前,是等差数列,)若(1

212, 4--=m m m m n n n n T S b a n T S b a {}的常数项为为常数,是关于,(为等差数列)

(n b a bn an S a n n +=⇔250的二次函数) {}中的正、负分界的最值;或者求出

的最值可求二次函数n n n a bn an S S +=2项,即: 000101

a n a d S n n a n ≥><≤+⎧⎪⎨⎪⎩当,,解不等式组可得达到最大值时的值。 000101

a n a d S n n a n ≤<>≥+⎧⎪⎨⎪⎩当,,由可得达到最小值时的值。 {}1831123a S a a a S n n n n n n =++===--如:等差数列,,,,则

13331121==⇒=++----n n n n n a a a a a ∴,

(由 ()3

1133222313===+=a a

a a S ∴,又 ()()18213122121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=-n n a a n a a S n n n ·∴ )27=∴n 19.等比数列的定义与性质

1110-+=≠=n n n

n q a a q q q a a ),为常数,(

高中数学知识点总结 第9页 共12页 xy G xy G y G x ±==⇒,或成等比数列、、等比中项:2

()

)(要注意项和:前! ) 1(11) 1(n 11⎪⎩⎪⎨⎧≠--==q q q a q na S n n {}是等比数列

性质:n a q p n m a a a a q p n m ··,则)若(=+=+1

仍为等比数列„„,,)(n n n n n S S S S S 2322--

20.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗?

(1)求差(商)法

{} 522

12121221+=+++n a a a a n n n „„满足如:① 解:145122

1

111=+⨯==a a n ∴, 5) 1(22

12121211221+-=+++

≥--n a a a n n n „„„② ①-②221=n n a 12+=n n a ∴ ⎩⎨⎧≥==+) 2(2) 1(141n n a n n ∴ (2)累乘法

{}n n n n a n n a a a a ,求中,例如:数列1

311+==+ 解:n

a a n n a a a a a a n n n 113221112312=-=-∴,„„„„ n

a a n 331=

=∴,又 (3)累加法

() 110a a f n a a a n n n -==-由,,求,用累加法 两边相加,得„„„„时,⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫=-=-=-≥-) () 3() 2(212312n f a a f a a f a a n n n ) () 3() 2(1n f f f a a n +++=-„„

0(2) (3) () 2n a a f

f f n n ∴=+++⋯⋯+≥()注意验证n=1是否符合该通项公式。

高中数学知识点总结 第10页 共12页 (4)等比型递推公式

()0101≠≠≠+=-d c c d c d ca a n n ,,为常数,、

可转化为等比数列,()x a c x a n n +=+-1

()x c ca a n n 11-+=⇒-

1) 1(-=

=-c d x d x c ∴,令为公比的等比数列,是首项为∴c c d a c d a n 111-+⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-+ 1111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+n n c c d a c d a ·∴ 1111--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-c d c c d a a n n ∴ (5)倒数法

n n n n a a a a a ,求,例如:2

2111+=

=+ n n n n a a a a 1212211+=+=+由已知 21111=-+n n a a ∴ 211111=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∴a a n ()()12121111+=-+=∴n n a n 1

2+=n a n ∴ 21.你熟悉求数列前n 项和的常用方法吗?

(1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。

(2)错位相减法:针对通项是由一个等差数列与一个等比数列构成。

(3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

(4)分组求和法:针对通项是由一个等差数列与一个等比数列相加(减)。

22.你知道储蓄、贷款问题吗?

△零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:

若每期存入本金p 元,每期利率为r ,n 期后,本利和为:

()()()()等差问题„„„„⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++=++++++=r n n n p nr p r p r p S n 211211 △若按复利,如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类)

若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,第n 次还清。如果每期利率为r (按复利),那么每期应还x 元,满足 ()()()x r x r x r x r p n n n +++++++=+--111) 1(21„„

高中数学知识点总结 第11页 共12页 ()()r r x r r x n n 111111-+=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+-+-=()111-++=n n r r pr x ∴ p ——贷款数,r ——利率,n ——还款期数

*23.解排列与组合问题的规律是:

相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问题间接法;

*24.二项式定理

n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---„„222110) (

) 10(1n r b a

C T r r n r n r „„,:二项展开式的通项公式==-+ 该项的系数)

为二项式系数(区别于r n C 性质:

()n r C C r n n r n ,„„,,,)对称性:(2101==-

0122n n C C C n n n

+++=()二项式系数和:„ 14205312-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C „„

(3)最值:n 为偶数时,n +1为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第

项式为偶数,中间两项的二为奇数时,;项,二项式系数为) 1(122+⎪⎭

⎫ ⎝⎛+n n C n n n 212112

121+-=+++n n n n C C n n 项,其二项式系数为项及第 ()111x -如:在二项式的展开式中,系数最小的项系数为(用数字表示) n 11∵=

项或第项,中间两项系数的绝共有∴762

1212= 项系数为负值为最

小即第取∴,由65) 1(1111=--r x C r r r 426511611-=-=-C C

()(),则„„又如:R x x a x a x a a x ∈++++=-200420042210200421

()()()()01020302004a a a a a a a a ++++++++=„„

001x a ==令,得:

11200410=+++=a a a x „„,得:令

())„„原式∴200411200320032004100=+⨯=++++=a a a a

25.对某一事件概率的求法:

分清所求的是:

(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即

高中数学知识点总结 第12页 共12页 n

m A A P ==的总数一次试验的等可能结果包含的等可能结果) ( ()) () (2B P A P B A P B A +=+互斥,则、)若(

()()()B P A P B A P B A ··相互独立,则

、)若(=3 ) (1) (4A P P -=)(

*(5)如果在一次试验中A 发生的概率是p ,那么在n 次独立重复试验中A 恰好发生

()k n k k n n p p C k P --=1) (k 次的概率:

*(6)在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率() () () P AB P B A P A =

26.平面向量的数量积 (1)||||cos a b a b a b θ→→→→→→=··叫做向量与的数量积(或内积)。

[]πθθ,的夹角,与为向量0∈→→b a

(2)()()

1122a x y b x y →→==重要性质:设,,, 002121=+⇔=⇔→

→→→y y x x b a b a ···⊥① ||||||||→

→→→→→→→→→-==⇔b a b a b a b a

b a ··或··∥② 惟一确定),(λλ0≠=⇔→→→b b a 01221=-⇔y x y x

27.三类角的定义及求法

(1)异面直线所成的角θ,0°<θ≤90°

(2)直线与平面所成的角θ,0°≤θ≤90°(ααθ⊂b 或∥时,=b 0o ) 30180o o l αβθθ--≤≤()二面角:二面角的平面角,

*28.立体几何中的向量法

(1)平行问题:

面面平行的证明:12n n ⋅分别是平面, αβ的法向量,12n n λ=//αβ⇒

(2)垂直问题

面面垂直的证明:12n n ⋅分别为, αβ的法向量,120n n αβ⋅=⇒⊥

(3)距离的公式

高中数学知识点总结 第13页 共12页 点P 到平面α距离公式:→→→⋅=n

n

PA d ,其中A 为平面α内任一点, n 为平面α的法向量,d 为点P 到平面的距离.

(4)角公式

① 异面线成角公式:cos , , a b

a b a b θ⋅=为异面直线, m n 的方向向量.

② 线面角公式:sin θ=, a n

a a n ⋅为直线的方向向量,n 为平面的法向量,θ为线面角.

③ 二面角公式:) 0(, 212

121>=∙=→→→→→→m m n n n n n n ,→

→21, n n 为两个半平面的法向量,故所求的

二面角的余弦为m 或-m.

29.球有哪些性质?

(1)

r =球心和截面圆心的连线垂直于截面(2)球

1r =()球心和截面圆心的连线垂直于截面大圆的劣弧长。为此,要找球心角!

(3)如图,θ为纬度角,它是线面成角;α为经度角,它是面面成角。

(4) 23443

S R V R ππ==球球, (5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R

与内切球半径r 之比为R :r =3:1。

面上,则此球的表面,四个顶点都在同一球如:一正四面体的棱长2积为( )

ππππ6. 3. 4. 3. D C B A 答案:A 30.分清圆锥曲线的定义 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⇔=<=-⇔=>=+⇔PK

PF F F c a a PF PF F F c a a PF PF 抛物线,

双曲线,椭圆第一定义2

1212121222222

高中数学知识点总结 第14页 共12页 a

c PK PF

e ==第二定义: 抛物线双曲线;椭圆;⇔=⇔>⇔<<1110e e e 31.()2222

10x y x y a b a b

λλ-=-=≠与双曲线有相同焦点的双曲线系可设为 32.在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系数是否为零? (△≥0的限制)。(求交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在△≥0下进行。) 弦长公式:

12PP =()[]

212212411y y y y k -+⎪⎭⎫ ⎝+= 33.通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准线相切。

34.有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

中点连两点,原点与、交于与直线如:椭圆MN N M x y ny mx -==+1122线的斜率为

22,m n 则的值为(答案:2

2=n m ) 35.如何求解“对称”问题?

(1)证明曲线C :F (x ,y )=0关于点M (a ,b )成中心对称,设A (x ,y )为曲线C 上任意

一点,设A' (x' ,y' )为A 关于点M 的对称点。

),,(由y b y x a x y y b x x a -='-='⇒'+='+=2 2 2

2 () ) (22 y x f C y b x a A =--上,即也在曲线,

只要证明 ⎩⎨⎧⇔上中点在⊥对称关于直线、)点( 2l

AA l AA l A A ⎩

⎨⎧-=⋅⇔方程中点坐标满足 1 l AA k k l AA 36.求轨迹方程的常用方法有哪些?注意讨论范围。

(直接法、定义法、转移法、参数法)