初一(7)平行线
初三 记叙文 5168字 27人浏览 简单qsf

1

关于“相交线与平行线”的学习

一、知识梳理与知识关系的再研究

1、两条直线相交

(1)对顶角相等

(2)直线外一点与直线各点的连线中,垂线段最短

2、两条直线平行

(1)三线八角中角关系的等价性

(2)三个判定方法及其关系 (3)三个性质定理及其关系

(4)平行线判定定理与性质定理之间的互逆关系

(5)两条平行线间的距离处处相等

二、知识的直接运用

1.如图,△ABC 中,∠C =90°,AC =3,点P 是边BC 上的动点,则AP 长不可能...

是 ( )

a

b

c

4 8

a

b

c

8 2 C

2

A .2.5 B .3 C .4 D .5

2. 如图,直线AB 与直线CD 相交于点O ,E 是∠AOD 内一点,已知OE ⊥AB ,∠BOD =45

,则∠COE 的度数是( ) A .125° B .135° C .145° D .1

3.如图,直线AB CD ∥,EF CD ⊥,F 为垂足.如果

20GEF = ∠,那么1∠的度数是 °.

4.如图,已知∠1 =∠2 =∠3 = 62°,则4∠=.

5.如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,如果∠1=35°,那么∠2是_______°.

6.将两张矩形纸片如图所示摆放,使其中一张矩形纸片的一个顶

点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上,则∠1+∠2=________. 7.如图,a ∥b ,∠1=105°,∠2=140°,则∠3的度数是( ).

A 、75° B 、65° C 、55° D 、50°

练习题

1.如图1所示,请写出能判定CE ∥AB 的一个条件.

2.如图2,直线a ∥b ,直线AC 分别交a 、b 于点B 、C ,直线AD 交a 于点D .若∠1=20 o , ∠2=65 o,则∠3= .

A

B

E

D

图1

a

b

2

图2

4题

5题

6题

B

F

E

D C

B

A

A 2 7题 a

b

3

3.如图3,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,130250∠=∠=°

,°,则3∠的度数等于( )

A .50° B .30° C .20° D .15°

4.如图4,l m ∥,矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上,则α∠=

5.如图5,请你填写一个适当的条件:, 使AD BC ∥.

6.如图6,在ABC △中,90ABC ∠= ,50A ∠= , BD AC ∥,则CBD ∠的度数是

三、说理与证明

1、如何说理与证明

例1、“与一个偶数前后相邻的两个偶数之和,一定是4的倍数”,这一说法对吗?你以什么方法作出说明?

例2 已知:如图,a ∥b ,c ∥d ,∠1=73°. 求 ∠2和∠3的度数,并说明理由.

例3 如图,如果C 、D 是线段AB 上的两点,且

AC =DB ,那么AD =CB .”怎样证明?

图5

A B

A

B C

m °

图4

图3

B

d

2

例2

图 a

b

c

B 图6

4

阅读下面命题的证明过程,交流对证明过程的认识: “如图,如果∠ABC =∠A ′B ′C ′,∠1=∠2,那么∠3=∠4”.

证明:因为∠ABC =∠A ′B ′C ′,∠1=∠2(已知), 所以∠ABC –∠1=∠A ′B ′C ′–∠2(等量减等量差相等). 又因为∠3=∠ABC –∠1,∠4=∠A ′B ′C ′–∠2(两角差的定义),

练习题

请对下面的命题试着写出证明(课上做): 1.如果∠1和∠2都是∠α的余角,那么∠1=∠2.

2.如图,如果C 是AD 的中点,D 是CB 的中点,那么AD =CB .

3.对下面的命题证明填写依据.

已知:如图,点O 在直线AB 上,OD 是∠AOC 的平分线,OE 是∠COB 的平分线.

求证:OD ⊥OE . 证明:∵1

2

DOC AOC ∠=

∠) 1

2

COE COB ∠=

∠. ∴111

() 222

DOC COE AOC COB AOC COB ∠+∠=∠+∠=∠+∠) .

3

A

B

C

D

B ′

A ′

D ′

O

B

E

C

第3题

A

C

D

B

5 ∴111809022

DOE AOB ∠=∠=⨯︒=︒(. ∴OD ⊥OE ( ) .

课下做

4.已知:如图,,直线AB ,CD 被直线EF 所截,∠1和∠2是同旁内角,并且∠1+∠2=180°. 求证:AB ∥CD . 证明:∵∠1+∠2=180°( ),

而∠2+∠3=180°( ), ∴∠1=180°-∠2( ).

∠3=180°-∠2( ). ∴∠1=∠3( ), ∴AB ∥CD ( ).

5. 证明: 如图5,如果∠1=∠2,那么∠3=∠4.

6. 如图6,如果直线a ∥b ,a ∥c ,那么b ∥c .

例4. 如图,直线a 、b 被直线c 所截,并且a ∥b ,a ⊥c ,

那么b ⊥c . 证明:

图5 d

1 2 3 图6 C E

2 第4题

B D

c 2 a b

6

例5.已知:如图,OC 是∠AOD 的平分线,OD 是∠COB 的平线.

求证:∠AOD =∠COB . 证明:

例6.填空:已知:如图,如果AB ∥CD ,∠B =∠D ,那么AD ∥BC .

证明: 例7.填空:已知,如图,如果AB ∥CD ,∠1=40°,∠2=65°,求∠A 的度数.

解:

例8.填空: 已知,如图,如果AB ∥CD ,AB 、CD 与直线EF 分别相交于点M 和N ,MP 平分∠AMF ,

NQ 平分∠END .

求证:MP ∥NQ .

证明:∵AB ∥CD (已知), ∴∠AMF = ( ) . ∵MP 平分∠AMF (已知), ∴∠1=

1

2

(角平分线的定义). 同理∠2=

1

2

∠ENQ , ∴∠1= ( ). ∴MP ∥NQ ( ).

例9.如图,如果AB ⊥MN 于点B ,CD ⊥MN 于点D ,BP 为∠ABN 的平分线,DQ 为∠CDN 的平分线,则BP ∥DQ .写出本题的证明.

A

C

D B

B

A

B

2

Q A

P C

N F

M

(例9)

A

B

M

N D

C

P

7 例10.如图,如果CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,∠1=∠2,则DG ∥BC .请你写出“已知”,“求证”,和证明过程.

例11. 已知:如图,∠1=∠2,∠3=∠4. 求证:l 1∥l 2.

练习题 1.如图,填空: ⑴ ∵∠A =∠3(已知),

∴ ∥ ( ). ⑵ ∵∠2=∠E (已知), ∴ ∥ ( ).

⑶∵∠A + =180°(已知),

∴AD ∥BE ( ). 2.完成下列推理,并在括号内填上相应的依据. ⑴ 如图①, ∵∠ADE =∠DEF (已知),

∴AD ∥ ( ) . 又∵∠EFC +∠C =180°(已知) ,

∴EF ∥ ( ) . ∴ ∥ ( ) .

⑵ ∵DE ∥AB (已知), ∴∠B = ,∠A = ( ). ∠ =∠ (两直线平行, 内错角相等). ∴∠ +∠ =180°; (第2题) ① B C F D

(第2题) ②

B C

E D (第1题) A B C

3

l 1

l 2 14 G

C E B (例10)

8

∠ +∠ =180°;

∠ +∠ =180°(两直线平行,同旁内角互补). ⑶ 填空:

已知:如图,AB ∥CD ,∠1=70°,∠2=55°. 求证:EG 平分∠BEF .

证明:∵AB ∥CD (已知),

∴∠1+∠ =180°( ). ∴∠ =180°-∠1=180°-70°=110°. ∵∠2=55°=

1

2

∠ ( ), ∴EG 是∠BEF 的平分线.

3.填空:已知,如图,∠1=∠2,∠C =∠D ,点B 、点E 分别在线段AC 、DF 上. 求证:∠A =∠F .

证明:∵∠1=∠2(已知),∠3=∠2( ); ∴∠1=∠3( ).

∴ ∥ ( ). ∴∠C =∠ (两直线平行,同位角相等). 又∵∠C =∠D (已知), ∴∠ =∠D (等量代换), ∴AC ∥ ( ). ∴∠A =∠F ( ). 4.填空:

已知:如图,AD ⊥BC ,EF ⊥BC ,∠1=∠2. 求证:DG ∥BA .

证明:∵AD ⊥BC ,EF ⊥BC (已知),

∴∠ADB = ,∠EFB = (垂线的定义) . ∴EF ∥AD ( ).

∴∠1=∠ (两直线平行,同位角相等). 又∵∠1=∠2( ), ∴∠2=∠ (等量代换). ∴AB ∥DG ( ).

5.如图, AB ∥CD , EF 与AB 、CD 相交于M 、N ,∠BMR =∠CNP ,试说明MR ∥NP 的理由.

(第2题) ③

A

E

D

G F

2

(第3题)

C

B

F

D

1 B

C F D (第4题)

C B R

F P (第5题)

9

6.请你阅读并分析下列各题中甲题的证明过程,然后写出乙题的证明. (1) (甲题)已知:如图,AE ∥BC ,∠B =∠C . 求证:AE 为∠DAC 的平分线. 证明:∵AE ∥BC (已知),

∴∠1=∠B (两直线平行同位角相等), ∠2=∠C (两直线平行,内错角相等), 又∠B =∠C (已知), ∴∠1=∠2(等量代换).

∴AE 是∠DAC 的平分线(角平分线的定义).

(乙题)已知,如图,AE ∥BC ,AE 是∠DAC 的平分线. 求证:∠B =∠C .

(2) (甲题)已知,如图AB ∥DN ,MF ∥BC . 求证:∠ABC =∠DEF . 证明:∵AB ∥DN (已知),

∴∠ABC =∠DNC (两直线平行,同位角相等). 又∵MF ∥BC (已知),

∴∠DNC =∠DEF (两直线平行,同位角相等). ∴∠ABC =∠DEF (等量代换).

(乙题)已知,如图,AB ∥DN ,∠ABC =∠DEF . 求证:BC ∥MF .

(3) (甲题)已知:如图,AB ∥CD ,∠1=∠2,∠3=∠4. 求证:∠2+∠3=90°. 证明:∵AB ∥CD (已知),

∴∠FEB +∠EFD =180°(两直线平行,同旁内角互补). ∵∠1=∠2,∠3=∠4(已知), ∴∠2=12∠FEB ,∠3= 1

2

∠EFD (角平分线的定义) ,

∴∠2+∠3=

12∠FEB +12∠EFD =1

2

(∠FEB +∠EFD ) (等式的性质). B

C

D 1 第6题⑴

B

C

E 第6题⑵

D

F

N D

2 1 第6题(3)

C

10

∴∠2+∠3=

12

×180°=90°(等量代换). (乙题)已知,如图,∠1=∠2,∠3=∠4,∠1与∠4互余. 求证:AB ∥CD .

(4)(甲题) 已知:如图,AC ∥BD ,∠1=∠2. 求证:∠C =∠D .

证明:∵AC ∥BD (已知),

∴∠1=∠D ,∠2=∠C (两直线平行,内错角相等). 又∵∠1=∠2(已知), ∴∠C =∠D (等量代换).

(乙题)已知,如图,∠1=∠2,∠1=∠C . 求证:∠CAB +∠DBA =180°. 7.(甲题)已知:如图,AB ∥CD . 求证:∠AEC =∠BAE +∠DCE . 证明:※

作EF ∥AB ,则也有

EF ∥CD (平行于同一条直线的两条直线平行),

∴∠1=∠BAE ,∠2=∠DCE (两直线平行,内错角相等). ∴∠ACE =∠1+∠2=∠BAE +∠DCE (等量代换).

(乙题)已知,如图,AB ∥CD . 求证:∠BAE +∠AEC +∠DCE =360°. (仿照甲题给出证明)

8.已知,如图,点B 、E 、C 、F 在一条直线上,AB ∥DE ,∠A =∠D ,AC ⊥BF .

求证:DF ⊥BF .

C

D

E

F

7题(甲)

A

第6题⑷

C

B

D

1 B

C

D

E

7题(乙)

A

B

E C F D

第8题