不等式穿针引线法
四年级 记叙文 1777字 1069人浏览 滑滑夸夸

穿针引线法

释义:“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”。

准确的说,应该叫做“序轴标根法”。序轴:省去原点和单位,只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中,左边的点表示的数比右边的点表示的数小。 当高次不等式f (x )>0(或<0)的左边整式、分式不等式φ(x )/h(x )>0(或<0)的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积(x -a1)(x -a2)„(x -an )的形式,可把各因式的根标在数轴上,形成若干个区间,最右端的区间f (x )、 φ(x )/h(x )的值必为正值,从右往左通常为正值、负值依次相间,这种解不等式的方法称为序轴标根法。

为了形象地体现正负值的变化规律,可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点,穿过最后一个点后就不再变方向,这种画法俗称“穿针引线法“。 使用步骤:

第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0。(注意:一定要保证x 前的系数为正数)

例如:将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0

第二步:换号。将不等号换成等号解出所有根。

例如:(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为:x1=2,x2=1,x3=-1

第三步:标根。在数轴上从左到右依次标出各根。

例如:-1 1 2

第四步:画穿根线:以数轴为标准,从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一下依次穿过各根。

第五步:观察不等号,如果不等号为“>”,则取数轴上方,穿根线以内的范围;如果不等号为“<”,则取数轴下方,穿根线以内的范围。 例如:若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。

在数轴上标根得:-1 1 2

画穿根线:由右上方开始穿根。

因为不等号为“>”则取数轴上方,穿根线以内的范围。即:-1<x<1或x>2

注意:一、重根时,奇穿偶不穿

出现重根时,机械地“穿针引线”

例2 解不等式(x+1)(x -1)^2(x -4)^3<0

解 将三个根-1、1、4标在数轴上,

原不等式的解集为{x|x<-1或1<x<4}。

这种解法也是错误的,错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时,所画的浪线遇到“偶次”点(即偶数个相同根所对应的点)不能过数轴,仍在数轴的同侧折回,只有遇到“奇次”点(即奇数个相同根所对应的点)才能穿过数轴,正确的解法如下:

解 将三个根-1、1、4标在数轴上,画出浪线图来穿过各根对应点,遇到x=1的点时浪线不穿过数轴,仍在数轴的同侧折回;遇到x=4的点才穿过数轴,于是,可得到不等式的解集

{x|-1<x<4且x≠1}

奇透偶不透即假如有两个解都是同一个数字。这个数字要按照几个数字穿。如(x-1) 2=0 两个解都是1 ,那么穿的时候不要透过1,同样的,如果是三个1,则应该穿透1.

可以简单记为,秘籍口诀:或“自上而下,从右到左,奇穿偶不穿”(也可以这样记忆:“自上而下,自右而左,奇穿偶回” 或“奇穿偶连”)。

二、x 系数必须为正

出现形如(a -x )的一次因式时,匆忙地“穿针引线”。

例1 解不等式x (3-x )(x+1)(x -2)>0。

解 x(3-x )(x+1)(x -2)>0,将各根-1、0、2、3依次标在数轴上,由图1可得原不等式的解集为{x|x<-1或0<x<2或x>3}。

事实上,只有将因式(a -x )变为(x -a )的形式后才能用序轴标根法,正确的解法是:

解 原不等式变形为x (x -3)(x+1)(x -2)<0,将各根-1、0、2、3依次标在数轴上,由图1,原不等式的解集为{x|-1<x<0或2<x<3}。

三、特殊情况分析后再穿根

出现不能再分解的二次因式时,不能简单地放弃“穿针引线”

例3 解不等式x (x+1)(x -2)(x^3-1)>0

解 原不等式变形为x (x+1)(x -2)(x -1)(x^2+x+1)>0,有些同学同解变形到这里时,认为不能用序轴标根法了,因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积,事实上,根据这个二次因式的符号将其消去,再运用序轴标根法即可。

解 原不等式等价于

x (x+1)(x -2)(x -1)(x^2+x+1)>0,

∵ x^2+x+1>0对一切x 恒成立,

∴ x(x -1)(x+1)(x -2)>0,由图4可得原不等式的解集为{x|x<-1或0<x<1或x>2}