最短距离
初二 记叙文 4431字 678人浏览 贪心线

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第 1 页 共 6 页 空间与图形“两点之间线段最短”,“垂线段”,“点关于直线对称”,“线段的平移”。

原型来源于: “建奶站”,“造桥选址”等问题。 背景变式有:

角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

二.原题呈现:

A,B 提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使A,B 到它的距离最短?

a 、b 彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ,问桥址应如何选择,才能使A 村到B 村的路程最近?

6cm ,5cm ,4cm ,现有一只蜘蛛由A 点出发去捕食G 处的昆虫,则这只蜘蛛的最短爬行路线是多少厘米?

EF 长为10cm .母线 OE(OF)长为10cm .在母线OF 上的点A 处有一块爆米花残渣,且FA=2cm,一只蚂 蚁从杯口的点E 处沿圆锥表面爬行到A 点.则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm. 5. 升学指导175页14题(2009年青岛中考第14题):

长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ,高为6cm .如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ,那么所用细线最短需要 cm;如果从点A 开始经过

4个侧面缠绕

n 圈到达点B ,那么所用细线最短需要 cm.

居民区B

居民区A 街道 G A F

E 第3题图 第4题图

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4cm 的点C 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A

处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.

三.变式拓展:

1. 如图,AC 、BD 为边长为2cm 的正方形ABCD 的对角线,相交于点O, 点D 为BC 边的中点,请在BD 上找一点P ,使DP+CP之和最小,最小为 。

2. 如图2,E 是边长为4cm 的正方形ABCD 边CD 上的一点,且DE=1,试在

AC 上确定一点P ,使PD+PE的和最小,最小为 。

3. 如图3,等腰直角三角形ABC 的边长为2,E 是斜边AB 的中点,P 是AC 边上的一个动点,则PB+PE的最小值为

4. (2009年达州)在边长为2㎝的正方形ABCD 中,点Q 为BC 边的中点,点P 为对角线AC 上一动点,连接PB 、PQ ,则△PBQ 周长的最小值为____________㎝(结果不取近似值).

5.(2009抚顺) 如图所示,正方形

ABCD 的面积为12,ABE △是等边三角形,点E 在正方形ABCD 内,在对角线AC 上有一点P ,使PD PE 的和最小,则这个最小值为( ) A .B . C .3 D 6. 如图,点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上一个动点,点M ,N 分别是AB ,BC 边上的中点,MP +NP 的最小值是__________.

7. 在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠BAD =90°,AB =6,对角线AC 平分∠BAD ,点E 在AB 上,且AE =2(AE <AD ),点P 是AC 上的动点,则PE +PB 的最小值是_ .

B C D 变式练习1变式练习2变式练习3图 B

A 6cm

3cm 第5题图 第6题图 变式练习6 D E C 变式练习5B C Q 变式练习4

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第 3 页 共 6 页 8.(2009年鄂州) 已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AD =2,BC =DC =5,点P 在BC 上移动,则当PA +PD 取最小值时,△APD 中边AP 上的高为( )

A 、172 B 、174 C 、 178

D 、3

9. 如图,△ABC 中,AB=2,∠A=30°,若在AB 、AC 上各取一点,使得BM+MN的值最小,最小值为 。

10.. 如图,A 、B 是直线a 同侧的两定点,定长线段PQ 在直线a 上平行移动。问PQ 移动到什么位置时,AP+PQ+QB

最短,最短是 。

11. 如图3,菱形ABCD 中,AB=2,∠A=120°,点P ,Q ,K 分别为线段BC ,CD ,BD 上的任意一点,则PK+QK的最小值为

12. 如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是( ).

(A )3 (B ) 5 (C )2 (D )1

1A A 11C D 1

C 14

13. 如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发,沿长方体的表面爬到对角顶点C

1处

(三条棱长如图所示),

问怎样走路线最短?最短路线长为多少?

14. 有一长、宽、高分别是5cm ,4cm ,3cm 的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体

的一个顶点A 处沿表面爬到长方体上和A 相对的顶点B 处,则需要爬行的最短路径长为

变式练习14图 变式练习15图

A

B C

变式练习12图 变式练习13图 变式练习16图 拓展提升9图 拓展提升10 拓展提升11

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第 4 页 共 6 页 15. 如图所示一棱长为3cm 的正方体,把所有的面均分成3×3个小正方形.其边长都为1cm ,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ,则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点,最少要用 秒钟.

16. 如图是一个长4m ,宽3m ,高2m 的有盖仓库,在其内壁的A 处(长的四等分)有一只壁虎,B 处(宽的三等分)有一只蚊子,则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 。

A 、4.8 B 、 C 、5 D 、

17. 如图:在一个长为2米,宽为1米的矩形草地上,如图堆放着一根长方体的木块,它的棱长和场地宽AD 平行且>AD ,木块的正视图是边长为0.2米的正方形,一只蚂蚁从点A 处,到达C 处需要走的得最短路程是 米.(精确到0.01米)

A

B 1A 5

(3+1)×3=12

18. 如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ,3cm 和1cm ,A 和B 是这个台阶的两个相对的端点,A 点上有一只蚂蚁,想到B 点去吃可口的食物. 请问:这只蚂蚁从A 点出发,沿着台阶面爬到B 点,最短路程是 。

19. 有一圆形油罐底面圆的周长为24m ,高为6m ,一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物,它

20. 有一圆柱形油罐,已知油罐周长是12m ,高AB 是5m ,要从点A 处开始绕油罐一周建造梯子,正好到达

A 点的正上方B 处,问梯子最短有多长?

1. (2009年达州)在边长为2㎝的正方形ABCD 中,点Q 为BC 边的中点,点P 为对角线AC 上一动点,连接PB 、PQ ,则△PBQ 周长的最小值为____________㎝(结果不取近似值).

2.(2009年抚顺市) 如图所示,正方形ABCD 的面积为12,ABE △是等边三角形,点E 在正方形ABCD 内,在对角线AC 上有一点P ,使PD PE 的和最小,则这个最小值为( ) A .B . C .3 D 3.(09陕西) 如图,在锐角△ABC 中,AB =42,∠BAC =45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM+MN的最小值是____.

A C 变式练习17图 图 变式练习18图 变式练习20图 D E C 中考真题2B C Q 中考真题1

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4. (2009恩施市) 恩施州自然风光无限,特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷() A 和世界级自然保护区星斗山() B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧,50km AB A =,、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ,向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案,图(1)是方案一的示意图(AP 与直线X 垂直,垂足为P ),P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+,图(2)是方案二的示意图(点A 关于直线X 的对称点是A ',连接BA '交直线X 于点P ),P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+.

(1)求1S 、2S ,并比较它们的大小;

(2)请你说明2S PA PB =+的值为最小;

(3)拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直,建立如图(3)所示的直角坐标系,B 到直线Y 的距离为30km ,请你在

X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.

5. (2010宁德第25题):如图,四边形ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线BD (不含B 点)上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ,连接EN 、AM 、CM. ⑴ 求证:△AMB ≌△ENB ; ⑵ ①当M 点在何处时,AM +CM 的值最小;

②当M 点在何处时,AM +BM +CM 的值最小,并说明理由;

⑶ 当AM +BM +CM 的最小值为1+时,求正方形的边长.

6. (1)

如图1,等腰直角三角形ABC 的直角边长为2,E 是斜边

AB 的中点,P 是AC 边上的一动点,则PB+PE的最小值为 ;

(2)几何拓展:如图2, △ABC 中,AB=2,∠BAC=300

, 若在AC 、AB 上各取一点M 、N 使BM+MN的值最小,求这个最小值;

P

图(1) 图(3)

图(2) B C

F A D B C

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第 6 页 共 6 页 (第24题图)图 2图 1C B E P C B A (3)代数应用:求代数式

4) 4(122+-++x x (0≤x ≤4)的最小值.

7. (2008咸宁) 如图,在平面直角坐标系中,直线l 是第一、三象限的角平分线.

实验与探究:

(1)由图观察易知A (0,2)关于直线l 的对称点A ′的坐标为(2,0),请在图中分别标明B (5,3)、C (-2,5)关于直线l 的对称点B ′、C ′的位置,并写出他们的坐标:B ′ 、C ′ ; 归纳与发现:

(2)结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点P (a ,b )关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P ′的坐标为 (不必证明);

运用与拓广:

(3)已知两点D (1,-3)、E (-1,-4),试在直线l 上确定一点Q ,使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小,并求出Q 点坐标.