山重水复疑无路,柳暗花明又一村
初三 记叙文 5007字 728人浏览 耳外花香

1 高中数学论文

山重水复疑无路,柳暗花明又一村

——对一个数量积性质的新认识

【摘 要】:教学活动要遵循内在规律,只有当一切外在事实(知识)通过教师的主导作用,最后被主体(学生)认识之后,这外在东西才会为主体真正占有,这种转化只有在参与实践中才能体会并重新构建、形成知识体系。我们的教材中的好多知识表面上是孤立的,若我们的的教师在引领学生认知这些内容的同时,有“意识”的揭示这种“知识链”,内化我们学生的理解,让学生对知识的构建“水到渠成”!这不失为一种有效教学的好途径。

【关键词】:数量积 向量 角度 距离

作为新课程改革,高中数学教材的两个显著变化就是“向量和导数”的引入。其目的也很明确:为研究函数、空间图形,提供新的研究手段,即充分体现它们的工具性。但这种“工具性”,只有在深刻理解的基础上才能用好,而要想用活,这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识,丰富知识网络,形成较完善的“认知模块”、“知识体系”。例如全日制普通高级中学教科书《数学·第二册(下B )》P 33中,关于空间向量的数量积有这样三条性质:

(1)><=⋅, cos ||,(2)0=⋅⇔⊥,(3)⋅=2||。

作为“工具性”,性质(2)(3)比较明显,会立即得到充分的应用。可是对于性质

(1),当时,在上新授课时我总认为:这条性质没有什么“本质上”的用处,有点像“房间里的摆设”——配角。但是随着时间的推移,笔者发现了她的奥妙之处:在后继的有关空间问题中的“三大角度”和“三大基本距离”的坐标法的研究中有着奇妙无穷的用途,并带来意想不到的“知识链”反应,极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的“认知模块”的内涵。本文便梳理和佐证这一认知,以飨读者。

(一)性质的产生与内含 已知向量a AB =和轴l ,e 是l 上与l 同方向的单位向量,

作点A 在l 上的射影' A ,作点B 在l 上的射影' B 则' ' B A 叫向量在轴l 上或在方

向上的正射影,简称射影。 可以证明得,B A ⋅>=<=, cos ||' ' (证明略,图如下所示。)

此性质的内含理解有四点:

2 ①结果是一个数量(本身含正负号);②其正负号由向量与所成角的范围决定;③加上绝对值|||' ' |B A ⋅=便是一条线段长度(这里|||' ' |、

B A 刚好组成一个直角三角形的两条直角边);④可以推广为求一条线段在另一条直线上的正射影(此线段所在直线与已知直线的位置关系可以异面直线)。

(二)性质的“知识链”

对教材引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题,我们的学生可以说是欣喜若狂啊,因为学生觉得这种方法好!可操作性强!(只要能建系,有坐标就行!)但在实际应用中,学生觉得这些结论不易理解,加上这些结论只能逐步形成和完善,靠死记硬背吧,今天记了明天又忘了!等到用时,仍是“生硬、呆板”,甚至张冠李戴。如何突破这一问题?我认为其根本原因是:在学生的认知结构里,这一性质未能如愿地形成“知识链”。那么,这一性质是怎样与相关问题产生“对接或联系”的呢?

(1)它是空间三大角(即线线角、线面角、二面角的平面角)用向量法求解的“对接点”。

1.1线线角])2, 0[(π

αα∈的求法的新认识:

我们把这两条线赋予恰当的两个向量,问题就化归为两个向量的夹角(两个向量所成的角的范围为], 0[π),即||

|, cos |cos ==><=α, 我们能否加以重新认识这个公式呢?如图,

||||cos OB OB ==α,此时OB 1可以看作是与方向上的单位向量的数量积(e e b =

⋅其中,这就是由数量积这条性质滋生而成的;故此结论重新可以理解为:

1

B 1

1

3 |

|cos =α(这里刚好满足三角函数中余弦的定义:邻边比斜边)。 1.2线面角])2, 0[(π

θθ∈的求法的新认识:

|, cos |sin ><=n PA θ=(其中为平面α的一个法向量),此结论重新可以理解为:||||sin PA OP ==θ此时OP 又可以看作是在上的投影,即与方向上的单位向量的数量积⋅,(=

其中,故||sin =θ(这里刚好满足三角函数中正弦的定义:对边比斜边)。 1.3二面角的平面角]), 0[(πθθ∈的求法的新认识:

|||cos |=θ=21(其中21n n 是两二面角所在平面的各一个法向量)此结论重新可以理解为:2|2|1|

1||cos |n n n n ==θ(这里刚好满足三角函数中余弦的定义:邻边比斜边)。

★三大角的统一理解:

||cos b =

α、||sin PA =θ2|2|1|1||cos |n n ==θ、

4 其从上述梳理完全可以看出其本质特征:这里的“空间角”的求法,完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影,即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积,而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图,学生完全可以达到“系统化”和“自主化”,因为直角三角形中的三角函数定义,他们太熟悉了!即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”,那学习就会水到渠成!

(2)它又是空间三大距离(即点线距、点面距、异面直线间距离)用向量法求解的“联系点”。

空间中有七大距离(除球面上两点间的距离外)基本上可转化为点点距、点线距、点面距,而点线距和点面距又是重中之重!另外两异面直线间的距离,高考考纲中明确要求:对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离.........

。因此对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份。教材按排中引进了向量法来解决距离问题,也给问题的解决带来新的活力!不用作出(或找出)所求的距离了。

2.1点面距求法的新认识:

||sin ||||d ====θ(其中为平面α的一个法向

量),此结论重新可以理解为: ||d =,即PA 在n 上的投影,即与n 方向上的单位向量e 的数量积(=⋅其中。

2.2点线距求法的新认识:

1)新认识之一:

如图,若存在有一条与l 相交的直线时,就可以先求出由这两条相交直线确定的平面的一个法向量,则点P 到l 的距离||PA d =。 2)新认识之二:

若不存在有一条与l 相交的直线时,

我们可以先取l 上的一个向量n ,再利用

P l O A

5 2||2||2||OA PA PO -=来解,即:2||2||2d -=, 而数量OB可以理解为PA 在l 上的向量的投影,也即为:||||PA OA =。

2.3异面直线间距离求法的新认识:

从这几年的高考《考纲说明》观察,我们不难发现,对异面直线间距离的考查本意不能太难,但若出现难一点的考题,命题者又能自圆其说的新情况。实际上,这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法:只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的........距离..

。那也就是说,在不要作出公垂线(也许学生作不出!)的情况下,也可以求出它们的距离的!那就是用向量法!

如图所示:若直线l 1与直线l 2是两异面直线,求两异面直线的距离。

略解:在两直线上分别任取两点A 、C 、B 、D ,构造三个向量, , ,记与两直线的公垂线共线的向量为, 则由00=⋅=⋅与, 得, 则它们的距离就可以理解为:在上的投影的绝对值,即: ||d ⋅

=。 ★三大距离的统一理解: ||d =(点面距)、 ||d =(异面距)、||d =(点线距之一)、 2||2||2d -=且||||=(点线距之二)、

其本质特征是:一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影,也即数量积此性质的直接应用。

由上述的剖析过程不难再看出:空间中的三大角与三大基本距离的计算,都隐藏于这个“特定”的数量积的性质之中,体现在这个公式结构的“统一美”之中,把问题的本质揭示得“淋漓尽致”,而又不失自然!这给“立体几何” 中向量的工具性的体现,增色了几分美感与统一感!

6 (三)性质的应用

例1、(2005年山东省(理科)高考第20题)

如图,已知长方体1111, ABCD A BC D -12, 1, AB AA == 直线BD 与平面11AAB B 所成的角为30︒,AE 垂直BD 于 E ,F 为11A B 的中点. (I )求异面直线AE 与BF 所成的角; (II )求平面BDF 与平面1AA B 所成的二面角;

(III )求点A 到平面BDF 的距离. 解:在长方体1111ABCD A BC D -中,

以AB 所在的直线为x 轴,以AD 所在的直线为y 轴,1AA 所在的直线为z 轴建立如图示空间直角坐标系;

由已知12, 1, A B A A ==可得(0, 0, 0) , (2, A B ,

(1,0,1)F ,又AD ⊥平面11AAB B ,从而

BD 与平面11AAB B 所成的角为30DBA ∠=︒,又2AB =,AE BD ⊥

,1, AE AD ==

,从而易得1, 2E D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

(I

)因为()1, , 1,0,122AE BF ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭

所以, cos >=<422

1

-=-

=,易知异面直线AE BF 、

所成的角为arccos 4 (II ) 易知平面1AA B 的一个法向量(0,1,0) m = , 设(, , ) n x y z = 是平面B D F 的一个法向量

,(BD =- 由

1

7 00n BF n BF n BD n BD ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩

0203x z x y -+=⎧⎪⇒⎨-=⎪

⎩x z y =⎧⎪⇒=

即()

n = 所以5

, cos =>=< 即平面BDF 与平面1AA B

所成的二面角的大小(锐角)为 (III )点A 到平面BDF 的距离,即AB 在平面BDF 的法向量n 上的投影的绝对值,所以距离||d ⋅=

=5AB n n ⋅= A 到平面BDF

例2、(2005年重庆(理科)高考第20题)

如图,在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB ⊥侧面BB 1C 1C ,E

为棱CC 1上异于C 、C 1的一点,EA ⊥EB 1,已知AB=2,

BB 1=2,BC=1,∠BCC 1=3

π,求: (Ⅰ)异面直线AB 与EB 1的距离;

(Ⅱ)二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值.

解:(I )以B 为原点,1BB 、分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系. 由于BC=1,BB 1=2,AB=2,∠BCC 1=3

π,在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有 B (0,0,0),A (0,0,2),B 1(0,2,0),A 1(0,2,2)

) 0, 23, 2(), 0, 21, 2(1C C -,设), 0, , 2

3(a E 即

得由, 01, 1=⋅⊥EB EA EB EA , 4

322) 2(43) 0, 2, 23() 2, , 23(0+-=-+=--⋅--=a a a a a

a

8 , 0) 23)(21(=--a a 得), (2321舍去或即==a a ) 0, 2

1, 23(E 故; ) 2, 2

3, 2(1), 2, 0, 0(--==A 所以都垂直与所在的直线与设E B AB z y x 1) , , (=, 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0

10A 得,) 0, 1, (=(令y=1),故|1|AB d ==1 (II )由已知有, , 1111EB A B EB ⊥⊥故二面角A —EB 1—A 1的两个半平面的法向量为A B 与11。), 2, 2

1, 2(), 2, 0, 0(11--===A B 因 , 32

1111cos ===A B A B EA θ故22tan =θ所以。 通过上述几个高考题的分析,我们不难看出:立体几何中的几何法的“难在找(或作)所求的角度或距离”, 通过这个数量积的性质的转化(方法的转化与知识之间的转化),其“难”渐渐地溶解于“转换与化归”之中及学生的细心地“计算”之中,从而也焕发了数量积这条性质的奥妙之处,也就更体现了“向量”这个工具在立体几何中应用的优越性、工具性。因为”程序化”的计算使我们的学生的“信心”倍增! 同时让我们的学生也懂得了“知其所以然”,再也不用为记这一个“好结论”而烦恼了!

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