对一道经典数学题的思考
六年级 其它 1674字 772人浏览 苏苏喋

对一道经典数学题的多角度思考

何为数学经典题目?数学经典题目就是经过历史选择出来的最有价值的经久不衰的题目 。每个经典题目,都经得起人们的拷问和时间的考验;每个经典题目,总是蕴含着某种重要的数学思想和方法;每个经典题目,总有其独特的教育价值和教学功能;每个经典题目,都能穿越时间的深度和厚度而又最终超越时间经久弥新、与时俱进。数学教科书上的例习题有不少题目堪当经典,本文以其中一道经典题目为例,说明经典题目在复习教学中的潜能挖掘与应用,以期抛砖引玉。

题目 已知,且,求证。

本题目是普通高中课程标准实验教科书数学选修

不等式选讲人教版第十页习题第11题。这是一道经典的条件不等式证明题,解题入口宽、方法多样,对本题进行一题多解训练,可达到举一反三触类旁通,解读一题沟通一片以点带面的复习效果。 证法1(配方法)因为,所以, 所以

, 所以

,当且仅当且且,即

时等号成立。 点评 本解法先消元,将表示成只含的二次式,并将此式当作是以为主元的二次三项式进行配方,再将配方后余下的部分再次配方,然后用实数平方的非负性,从而使问题得到解决。

证法2(构造二次函数)因为,所以, 于是, 故当时,最小,此时, 所以, 所以,当且仅当时等号成立。

1 点评 本解法通过构造函数将不等式证明问题转化为函数的最值问题。先消元

,将表示成只含的二次式,然后选为主元,将此式当作是含有参数的以为自变量的二次函数

,求出的最小值,的最小值就是的最小值,从而使问题获解。

证法3(用重要不等式)因为

, 所以,当且仅当时等号成立。

点评 将已知等式两边平方是运用重要不等式的关键。

证法4(用等号成立的条件构造平方和)由所证不等式等号成立的条件得

, 即,所以

,当且仅当

时等号成立。

证法5(用等号成立的条件构造配偶不等式)由所证不等式等号成立的条件可构造如下不等式

,,三式相加得

,所以

,当且仅当时等

号成立。 点评 证法4和证法5注意到等号成立的条件

是问题获得简解的关键之所在。

证法6(用柯西不等式)由三元柯西不等式

得,即

2 证法7(用向量数量积不等式)构造向量,,由向量数量积不等

式得

,,

即,当且仅

时等号成立。

证法8(利用直线与圆有公共点解题)把当作参数当作变量,则

可看作是直角坐标系

下的一条直线的方程,设

则,此方程可看作是圆心是坐标原点半径为的圆的方程。因为这两个

方程所组成的方程组有解,所以直线与圆有公共点,故圆心到直线的距离不大于半径。故,即有解,所以,解得则,即。

点评 本解法需要有方程思想、数形结合思想和化归意识,化静为动,动中求静。根据“方程组有解,则直线与圆有公共点,从而直线到圆心的距离不大于半径”列不等式,进而使问题得以解决。

证法9(三角换元法)

则,

设。由得,所以,由正弦函数的有界性得

,两边平方解得,故。

证法10(构造概率模型)设随机变

量取值

为时的概率均

为,因

,所

以,所

以,即,当且仅当

时等号成立。

3 证法11(用琴生不等式)构造函数,因为是上的凹函数,由琴生不等式得

,,

即,所以,当且仅当

时等号成立。 证法12(用点面距离公式)可看作是空间直角坐标系下的一个平面的方程,可看作是这个平面内任意一点到原点O 的距离的平方,由

垂线段最短知,当OP 与平面垂直时,OP 最短从而

最小,由点面距离公式得点O 到平面的的距离为:,所以,即。

凹凸函数、琴生不等式是高等数学的内容,但与初等函数关系密切,是初等数学与高等数学的衔接处,点面距离公式是大学空间解析几何的内容,但可当作是平面解析几何点线距离公式在空间的一个类比拓广,这些知识可开阔学生的视野,类比推理有利于发现新知识和数学思想方法的迁移。

以上从十二个不同的角度来思考解决一个经典不等式的证明问题,消元法、配方法、构造法,函数和方程思想,化归和转化思想,数形结合思想都是高中数学重要的数学思想方法,在以上十二种解法中体现得淋漓尽致。一题多解有利于培养发散思维、求异思维和综合运用多种知识解决问题的能力,有利于拓宽解题思路,有利于创造性思维的培养。发挥经典以一当十,解析一题复习一片。