寒假作业
五年级 记叙文 14342字 257人浏览 go滚吧滚吧

1. 已知函数2() cos () 112f x x π

=+-,1() sin 22g x x =. (Ⅰ)设0x x =是函数() y f x =图象的一条对称轴,求0() g x 的值; (Ⅱ)求函数() () () h x f x g x =+的值域.

(Ⅰ)由题知11() cos(2) 262f x x π=

+-,因为0x x =是函数() y f x =图象的一条对称轴, 所以02() 6x k k Z π

π+=∈,即02() 6x k k Z π

π=-∈, …………………3分 故0011() sin 2sin() 226

g x x k ππ==-,当k 为偶数时,011() sin() 264g x π=-=-, 当k 为奇数时,011() sin 264

g x π==; …………………6分 (Ⅱ)由题知111() () () cos(2) sin 22622

h x f x g x x x π=+=+-+

1111111[cos(2) sin 2]2sin 2) sin(2) 262222232x x x x x ππ=++-=+-=+-,……………10分

所以() h x 的值域为[1,0]-. ……………………12分

2. 已知椭圆C :122

22=+b

y a x (0>>b a ) ,直线0=+-y x 经过椭圆C 的上顶点B 和左焦点F ,设椭圆右焦点为F '.

(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;

(Ⅱ)设P 是椭圆C 上动点, 求|4(||||)|PF PB '-+

的取值范围, 并求取最小值时点P 的坐标.

(Ⅰ)依题意, ) 1 , 0(B , ) 0 , 3(-F , 所以1=b , 3=

c ,222=+=c b a ,………3

分 所以椭圆的标准方程为14

22

=+y x ……………………5分 (Ⅱ)由椭圆定义知||4||PF PF '=-,则|4(||||)|||||||P F P B P F P B '-+=-, ………

7

而||||||||0BF PB PF ≤-≤, 当且仅当|

|||PB PF =时, 0||||||=-PB PF ,

当且仅当P 是直线BF 与椭圆C 的交点时,

||||||||BF PB PF =-=2,

所以|4(||||)|PF PB '-+的取值范围是]2 , 0[. …………………………9分

设) , (n m P , 由||||PB PF =得013=++n m , 由⎪⎩

⎪⎨⎧=++=+0131422

n m n m , 解得⎩⎨⎧-==10n m 或⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-=13111338n m ,所求) 1 , 0(-P 和) 1311, 138(-P . ………………………12分 3. 在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是直角梯形,AB//CD,︒90=ABC ∠,AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC ⊥平面ABCD.

(I )求平面ADP 与平面BCP 所成的锐二面角的大小;

(II )在棱PB 上是否存在点M 使得CM//平面PAD ?若存在,求

PB

PM 的值;若不存在,请说明理由.

如图,取BC 的中点O ,连接PO ,

∵PB=PC,∴PO ⊥BC.

∵平面PBC ⊥平面ABCD ,∴PO ⊥平面ABCD.

以O 为原点,OB 所在的直线为x 轴,在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直线为y 轴,OP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系O -xyz.

不妨设BC=2.由AB=PB=PC=BC=2CD得, ) 0, 2, 1(), 0, 1, 1(), , 0, 0(A D P -. 所以) 0, 1, 2(), , 1, 1(=-=DA DP ,

设平面PAD 的法向量为) , , (z y x =. 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0

0DA m ,得⎩⎨⎧=+=+-0203y x z y x 令1-=x ,则3, 2==z y . 所以) , 2, 1(-=.

取平面BCP 的一个法向量) 0, 1, 0(=,

所以2

2, cos =>=< 所以平面ADP 与平面BCP 所成的锐二面角的大小为4

π (2)法一:在棱PB 上存在点M 使得CM//平面PAD ,此时

21=PB PM . 取AB 的中点N ,连接CM ,CN ,MN ,则MN//PA,AN=21AB. PAD PA PAD MN 面面⊂⊄, , 故PAD MN 面||

∵AB=2CD,∴AN=CD,

又∵AB//CD,∴四边形ANCD 是平行四边形,故CN//AD. PAD AD PAD CN 面面⊂⊄, , 故PAD CN 面||

又MN∩CN=N,PA∩AD=A,故平面MNC//平面PAD. ∵CM ⊂平面MNC ,所以CM//平面PAD. 法二:) , 0, 1(), , 0, 1(), 0, 0, 1(-==B . 设, λ= 则) , 0, 1(λλ-+=+=+= 假设存在M 点满足 CM//平面PAD ,由(I)知) 3, 2, 1(-=m 为平面PAD 的一个法向量,则0=⋅,解得

21=λ,所以存在满足条件的M 点,位于PB 的中点.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求函数() f x 在[0,2]

π上的单调递增区间.

(Ⅰ)2() 4sin()cos 3f x x x πωω=+ 1分

14

sin () cos cos 2x x x ωωω⎡=⋅-+⎢⎣

22sin cos x x

x ωωω=-

cos2) sin 2x x ωω=+- 2cos(2) 6x π

ω=++5分

由题意,T π=,2, 12ππωω∴== 6分

(Ⅱ)() 2cos(2) 6f x x π

=+

[]0,2x π∈时,2,4666x ππππ⎡⎤+

∈+⎢⎥⎣⎦

故[]2, 26x πππ+∈或[]23, 46

x πππ+∈时,() f x 单调递增 9分 即() f x 的单调增区间为511, 1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和1723, 1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12分

5. (本小题满分12分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,底面△ABC 为等腰直角三角形,

90ABC ∠= ,D 为棱1BB 上一点,且平面1DA C ⊥平面11AA C C . (Ⅰ) 求证:D 为棱1BB 的中点;AB AA 1为何值时,二面角1A A D C --的平面角为60 .

解:(Ⅰ)过点D 作DE ⊥ A 1 C 于E 点,

取AC 的中点F ,连BF ﹑EF

∵面DA 1 C⊥面AA 1C 1C 且相交于A 1 C,面DA 1 C内的直线DE ⊥ A 1 C 故直线DE ⊥面11ACC A

3分 又∵面BA C⊥面AA 1C 1C 且相交于AC ,易知BF ⊥AC ,∴BF ⊥面AA 1C 1C 由此知:DE ∥BF ,从而有D ,E ,F ,B 共面,

又易知BB 1∥面AA 1C 1C ,故有DB ∥EF ,从而有EF ∥AA 1,

又点F 是AC 的中点,所以DB = EF = 21 AA 1 = 2

1 BB 1, 即D 为1BB 的中点

6分

C A 1 C 1 D 第19题图

第20题

A 1 C 1 1 A E F

(Ⅱ)解法1:建立如图所示的直角坐标系, 设AA 1 = 2b ,AB =BC =a ,则D (0,0, b ), A 1 (a ,0,2b ), C (0,a ,0)

所以,) , , 0(), , 0, (1b a DC b a DA -==

设面DA 1C 的法向量为) , , (z y x n =

则 0

0,

00=-+⋅=+⋅+bz ay x bz y ax

可取) , , (a b b n --= 8分 又可取平面AA 1DB 的法向量 ) 0, , 0(a == cos , m n u r r

2

22222200a b b a a b a ba b +-

=⋅+⋅--⋅== 据题意有:

2

122

2=+a b b

解得: AB

AA 1=22=a b

12分 (Ⅱ) 解法2:延长A 1 D与直线AB 相交于G ,易知CB ⊥面AA 1B 1B ,

过B 作BH ⊥A 1 G于点H ,连CH ,由三垂线定理知:A 1 G⊥CH ,

由此知∠CHB 为二面角A -A 1D - C 的平面角; 9分

设AA 1 = 2b ,AB =BC =a ;

在直角三角形A 1A G中,易知AB = BG .

在∆Rt DBG 中,BH = DG BG

BD ⋅ = 22b

a a b +⋅,

在∆Rt CHB 中,tan ∠CHB = BH BC

b

b a 2

2+, 据题意有:b

b a 2

2+ = tan 600 = 3 ,

解得:22=a b 所以

AB

AA 1

12分

6. 已知椭圆) 0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的两个焦点与短轴的一个端点恰好围成一个面积为

3的等边三角形.

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)设椭圆C 的左右顶点分别为A 、B , 右焦点为F ,P 是椭圆C 上异于A ,B 的动点, 直线AP 与椭圆C 在点B 处的切线交于点D ,当点P 运动时,试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系,并加以证明. 解:(Ⅰ)设椭圆半焦距为c ,依题意有

3, 22, 1, 322

1

====∴=⋅⋅b c a c c c 故C 的方程为22

143

x y +=,…………4分

(Ⅱ)以BD 为直径的圆与直线PF 相切 …………5分

证明如下:易知()()0, 2, 0, 2B A -, ) 0, 1(F ,在点B 处的切线方程

为2=x . 由题意可设直线AP 的方程为(2) y k x =+(0) k ≠. 则点D 坐标为(2, 4) k ,BD 中点E 的坐标为(2, 2) k . 由22(2),

143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34) 1616120

k x k x k +++-=.

设点P 的坐标为00(, ) x y ,则2021612

234k x k --=+. 所以2

026834k x k -=+,00212(2) 34k

y k x k =+=+. ……………………8分 ①当1

2k =±时,点P 的坐标为3

(1, ) 2±,点D 的坐标为(2, 2) ±.

直线PF x ⊥轴,此时以BD 为直径的圆22(2) (1) 1x y -+= 与直线PF 相切. ②当1

2k ≠±时,则直线PF 的斜率0

204114PF y k

k x k

==--.

所以直线PF 的方程为24(1) 14k

y x k =--.

点E 到直线PF 的距离

d =3

2

2228142||14|14|

k k k k k k +-==+-. 又因为k R BD 42== ,故以BD 为直径的圆与直线PF 相切.

综上得,当直线AP 绕点A 转动时,以BD 为直径的圆与直线PF 相切.………13分

7. 在ABC ∆中, c b a , , 分别为内角C B A , , 的对边, 且满足0cos cos ) 2(=-⋅-A b B a c .

(1)若84=+=c a b ,, 求ABC ∆的面积;

(2)求) 6sin(sin π

-+C A 的取值范围.

解:(1)由已知及正弦定理得:

0cos sin cos ) sin sin 2(=-⋅-A B B A C

即0) sin(cos sin 2=+-B A B C , 在ABC ∆中, C B A sin ) sin(=+

0) 1cos 2(sin =-∴B C …………………………………………………………2分 ()0sin , , 0≠∈C C π ,

01cos 2=-∴B , 又B 为三角形的内角. 3π=

∴B ………………………………………………………………………4分 由ac c a ac c a b 3) (3cos 22222-+=-+=π

即ac 38422-=得16=ac ………………………………………………………6分 所以ABC ∆的面积4sin 21==

B ac S . ……………………………………7分 (2)) 2sin(sin 3) 6sin(sin A A C A -+=-+ππ

=) 6sin(2cos sin 3π+

=+A A A ………………………………………………9分 又⎪⎭⎫ ⎝⎛∈320πA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+

∴6566A πππ, …………………………………………10分 则(]2, 1) 6sin(2) 6sin(sin 3∈+=-

+ππA C A 即) 6sin(sin 3π

-+C A 的取值范围(]2, 1. ……………………………………12分

8. (本小题满分13分)

如图,平面四边形ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上, AB 为球O

的直径,P 为球面上一点,且PO ⊥平面 ABCD ,

2BC CD DA ===,点M 为PA 的中点.

(1) 证明:平面//PBC 平面ODM ;

(2) 求平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值.

解:(1) 证明:2A B O B C C D D A B C C D D A ⎫⇒===⎬==⎭为圆直径且AB CD ,…………2分

则CD 平行且等于BO ,即四边形OBCD 为平行四边形,所以//BC OD .

//////////AO BO OM PB OD PBC ODM PBC AM PM OM PBC BC OD =⎫⎫⇒⎫⎬⎪⇒⇒=⎬⎬⎭⎭⎪ ⎭

平面平面平面平面 …………6分 P M

(2) 以O 为原点,BA 方向为x 轴,以平面ABCD 内过O 点且垂直于AB 方向为y 轴 以OP 方向为z 轴,建立如图所示坐标系. 则(0,0,2) P ,(2,0,0) B -,(2,0,0)A ,

(1, C -

,(1, D ,…………8分 由(2,0, 2) PB =--

,(1, BC =,

可求得平面PBC

的法向量为1n =

由(2,0,2) PA =-

,(1, AD =-

可求得平面PAD

的法向量为2n =-

则1

cos 7θ=

=,

因此平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值为

1

7

. …………13分 9. 本小题满分13分)已知椭圆1C :12

32

2=+y x 的左焦点为1F ,右焦点为2F (1)设直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直1l 于点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;

(2)设O 为坐标原点,取2C 上不同于O 的点S ,以OS 为直径作圆与2C 相交另外一点R, 求该圆的面积最小时点S 的坐标.

解:(1)M 在线段2PF 的垂直平分线上,∴| MP | = | M2F |,…………2分

故动点M 到定直线1l :x =-1的距离等于它到定点2F (1,0) 的距离, 因此动点M 的轨迹2C 是以1l 为准线,2F 为焦点的抛物线, …………5分 所以点M 的轨迹2C 的方程为x y 42

= …………6分

(3)解:因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ,所以∠ORS = 90°,即0=⋅8分

设S(x1,y 1),R(x2,y 2),则22

112244y x y x ==,,212122() () SR x x y y OR x y =--= ,

,, 所以221221() () 0OR SR x x x y y y ⋅=-+-=

即222221221()

() 0

16y y y y y y -+-=

∵y1≠y2,y2≠0,∴) 16(2

21y y y +

-= …………10分

221222256323264y y y =++=≥, 当且仅当

2222256y y =,即24y =±时等号成立 …………12分

圆的直径||OS ==因为2164y ≥,所以当2164y =,即18y =±

时,min ||OS =所以所求圆的面积的最小时,点S 的坐标为(16,±8) . …………13分

10. 函数x x

x

x f ωωωcos 32cos 2sin 32) (+⋅=,) 0(>ω在一个周期内的图象如图所示,

A 为图象的最高点, B 、C 为图象与x 轴的交点, 且ABC ∆为正三角形.

(Ⅰ) 求函数() f x 的解析式;

(Ⅱ) 若将) (x f 的图象向右平移2个单位得到函数) (x g ,

求) (x g 的单调减区间.

解:(1)由已知得: x x x x

x

x f ωωωωωcos 3sin 3cos 32cos 2sin 32) (+=+⋅=

=) 3

sin(2π

ω+x …………………………………2分 A 为图象的最高点,∴A 的纵坐标为2

又 ABC ∆为正三角形,所以4||=BC …………………………………3分 ∴

42=T 可得8=T 即82=ωπ 得4πω=…………………………………5分 ∴) 34sin(2) (π

π

+=x x f …………………………………………………6分

(2)由题意可得), 64sin(23) 2(4sin 32) (ππππ-=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡+-=x x x g ………8分 令z k k x k ∈+≤-≤+, 22

36422ππππππ,……………………………………10分 可得z k k x k ∈+≤-≤+, 22

36141221 ) (, 8320838z k k x k ∈+≤≤+∴…………………………………………………11分

故函数) (x g 的减区间为) (8320838z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++。……………………………12分

11. 如图,在三棱柱111C B A ABC -中,侧棱⊥1AA 底面111C B A ,090=∠BAC ,11===AA AC AB ,D 是棱1CC 的中点,P 是AD 的延长线与11C A 的延长线的交点.(Ⅰ)求证://1PB 平面BD A 1 ;

(Ⅱ)求二面角B D A A --1的平面角的余弦值;

(Ⅲ)在直线P B 1上是否存在一点Q ,使得⊥DQ 平面BD A 1,若存在,求出Q 点坐标,若不存在请说明理由.

解析:本小题主要考查直线与平面平行,二面角等基础知识;考查空间想象能力,运算能力和推理论证能力;考查数形结合思想,化归与转化思想等.满分13分.

(Ⅰ)证明:连接1AB ,设M B A AB =11 ,连接MD ,

因为D C CD 1=,1PDC ADC ∠=∠,

所以D PC Rt ACD Rt 1∆≅∆,所以DP AD =.

又因为1MB AM =,所以1//PB MD ,

又⊂MD 平面BD A 1,⊄1PB 平面BD A 1,所以//1PB 平面BD A 1. ……4分 (Ⅱ)如图,以1A 为原点,11B A 、11C A 、A A 1所在直线分别为z y x , , 轴建立空间直角坐标系,则由已知得) 0, 0, 0(1A ,) 0, 0, 1(1B ,) 0, 1, 0(1C ,) 1, 0, 1(B ,) 21, 1, 0(D ,) 0, 2, 0(P ,设平面BD A 1的一个法向量为) , , (z y x =n ,

则⎪⎩

⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅, 021, 011z y A z x A n n 取2-=z ,得) 2, 1, 2(-=n ; 又) 0, 0, 1(11==B A m 为平面D AA 1的一个法向量, 所以3

2, cos =⋅>=<|n ||m |n m n m , 故二面角B D A A --1的平面角的余弦值为

32. ……8分

(Ⅰ)依题意可设椭圆Γ的方程为22

221(0) x y a b a b

+=>>, 因为离心率c e a ==,焦距为2c =, 所以c =2a =,1b =,椭圆Γ的方程为2

214x y +=. ……3分

线段AB 的方程为1(02) 21

x y x +=≤≤, 设直线l 与直线AB 平行与椭圆相切于x 轴下方的P 点,显然当C 点与P 点重合时, △CAB 的面积取到最大值.

可设直线AB 的方程为12

y x m =-+, 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=, 14

, 2122y x m x y 消去y 得222220x mx m -+-=. ……5分 令△=()()

2224220m m ---=,

解得m =

或m =(舍去).

……6分

所以直线l

方程为20x y ++, 点C 到直线AB 的距离d 等于直线l 与直线AB 的距离,

即d

=5

所以△CAB 的面积的最大值

=

S 11122AB d ⋅⋅==. ……7分 (Ⅱ)设[]00011(, ), 0,2, (, ) D x y x C x y ∈,

因为OD OC =λ ,所以0101x x y y =λ⎧⎨=λ⎩,则0101......(1)......(2)x x y y ⎧=⎪⎪λ⎨⎪=⎪λ⎩ ……8分

因为点11(, ) C x y 在椭圆Γ:2

214x y +=上 所以221114

x y +=.……(3) 将(1)、(2)代人 (3) 得22002214x y +=λλ,即222004x y λ=+.……(4) 00(, ) D x y 在线段AB 1(02) 21x y x +=≤≤上 ,所以0022

x y -=, 从而(4)式化为()22020244x x -λ=+=()2011122x =-+. ……11分

因为002x ≤≤,所以 2112≤λ≤,又0λ<

,所以12

-≤λ≤-. 所以λ

的取值范围为1, 2⎡--⎢⎣⎦

. ……13分

13. 在平面直角坐标系xOy 中,O 为坐标原点,已知点A )(ααsin , cos ), 0, 56(P (I )若, 6

5cos =α求证:P ⊥; (II

=求) 22sin(απ

+的值. 由题设知). sin , cos (), sin , cos 56(a a PO a a PA --=--=……………………2分 所以2sin () cos )(cos 56()a a a -+--=⋅

. 1cos 56sin cos cos 5622+-=++-=a a a a ……………………4分 因为, 6

5cos =a 所以. 0=⋅故 . ⊥ ……………………7分 (II

=

, = ……………………8分

. sin cos sin ) 56cos 2222a a a a +=+-( 解得. 53cos =a ……………………11分 从而2571cos 22cos 22sin(2-=-==+ααπ)a ………………13分 14. 如图5,在直棱柱1111//ABCD A BC D AD BC -中,,

190, , 1, 3. BAD AC BD BC AD AA ∠=⊥===

(I )证明:1AC B D ⊥;

(II )求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值。

【答案】 (Ⅰ) 见下 (Ⅱ)

7

21 【解析】 (Ⅰ) AC BB ABCD BD ABCD BB D C B A ABCD ⊥⇒⊂⊥∴-111111, 面且面是直棱柱 D B AC BDB D B BDB AC B BB BD BD AC 11

111, , ⊥∴⊂⊥∴=⋂⊥,面。面且又 . (证毕)

(Ⅱ)

的夹角与平面的夹角即直线与平面直线θ111111, ////ACD AD ACD C B AD BC C B ∴ 轴正半轴。为轴正半轴,为点,量解题。设原点在建立直角坐标系,用向X AD Y AB A

()y y y C y B D D A ⊥-== ), 0, , 3(), 0, , 1() 0, , 1(), 0, , 0(), 3, 0, 3(), 0, 0, 3(, 00, 01,则,设

).

3, 0, 3(), 0, , 1(. 0, 003012==∴=⇒>=+-⇒=⋅AD AC y y y BD AC ),,()(的一个法向量平面则的法向量为设平面303, 1-. 0

0, 111==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅ACD AD ACD

7213

|, cos |sin 003, 13-1=⋅=><=⇒==∴ACD θ),,()(的一个法向量平面 72111与平面所以ACD BD 。(完) 15. 过抛物线2:2(0) E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12, k k 的两条不同的直线12, l l ,且

122k k +=,1l E 与相交于点A ,B ,2l E 与相交于点C ,D 。以AB ,CD 为直径的圆M ,

圆N (M ,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l 。

(I )若120, 0k k >>,证明;22FM FN P < ;

(II )若点M 到直线l

的距离的最小值为,求抛物线E 的方程。 【答案】 (Ⅰ) 见下 (Ⅱ)y x 162=

【解析】 (Ⅰ) ,设) , (), , (), , (), , (), , (), , (). 2

, 0(3434121244332211y x N y x M y x D y x C y x B y x A p F 02, 2

21211=++-+=p x pk x E p x k y l :方程联立,化简整理得与抛物线方程:直线 ) , (2

, 20, 2211211212112221121p k p k p p k y p k x x x p x x p k x x -=⇒+==+=⇒=-=⋅=+⇒) , (2

, 2, 222223422134p k p k FN p p k y p k x x x -=⇒+==+=⇒同理. ) 1(2121222

221221+=+=⋅⇒k k k k p p k k p k k

222121221212121212) 11(1) 1(, 122, , 0, 0p p k k k k p FN FM k k k k k k k k k k =+⋅⋅<+=⋅∴≤⇒≥+=≠>> 所以,22p <⋅成立. (证毕)

(Ⅱ), )]2

(2[21)]2() 2[(21, 212121121p p k p p k p y p y p r r r N M +=++=+++=⇒的半径分别为、设圆

, 2同理, 2

21211p p k r p p k r +=+=⇒

. , 21r r N M 的半径分别为、设圆则21212212) () (r y y x x N M =-+-的方程分别为、,

的方程为:,直线l r y y x x 22234234) () (=-+- 0-) (2) (2222123421223421212341234=+-+-+-+-r r y y x x y y y x x x .

0) )(-() )(() )(() (2) (212123412341234123412212212=++--+--+-+-⇒r r r r y y y y x x x x y k k p x k k p

2) )((1) )(() (2) (2) (2222121222222122212212212212=++-+++-+-+-+-⇒k k k k p k k k k p k k p y k k p x k k p 0202) (1) (222212221=+⇒=+++++--+⇒y x k k p k k p p y x

55758751) 1() 1(2|512||52|) , (212

112121212==+-+-⋅≥++⋅=+=p p k k p y x d l y x M 的距离到直线点y x p 1682=⇒=⇒抛物线的方程为 .(完)

16. 如图, 有一块边长为1(百米) 的正方形区域ABCD ,在点A 处有一个可转动的探照灯, 其照射角PAQ ∠始终为45 (其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上), 设, tan PAB t θθ∠==, 探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S (平方百米(Ⅰ)将S 表示成t 的函数;

(Ⅱ)求S 的最大值.

解:(Ⅰ),01, BP t t =≤≤ 145, tan(45) 1o

o t DAQ DQ t

θθ-∠=-=-=+ 1111212(1[0,1]22121

ABP ADQ ABCD t S S S S t t t t t ∆∆-=--=--⋅=-++∈++四边形

(Ⅱ)方法一:122(1221ABP ADQ ABCD S S S S t t ∆∆=--=-++≤+四边形

当且仅当1t =时取等号.

所以探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S

最大值为2平方百米) . 方法二:22'

222122(1) 21(1) 2(1) 2(1) 2(1) t t t S t t t -+--+=--==+++ 令'

0S =

得1t

∵1) t ∈时' 0S >,S

单调递增,1,1) x ∈时' 0S <,S 单调递减.

∴当1t =

max 2S =所以探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S

最大值为2平方百米).

17. 如图1, 在等腰直角三角形ABC 中, 90A ∠=︒, 6BC =, , D E 分别是, AC AB 上的点

, CD BE =O 为BC 的中点. 将ADE ∆沿DE 折起, 得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,

其中A O '=O B 'A

O E ' H

(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ;

(Ⅱ) 求二面角A CD B '-

-的平面角的余弦值.

【解析】

(Ⅰ) 在图1中, 易得3, OC AC AD ===

连结, OD OE

, 在OCD ∆中, 由余弦定理可得 OD

由翻折不变性可知A D '=,

所以222A O OD A D ''+=, 所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = , 所以A O '⊥平面BCDE .

(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H , 连结A H ',

因为A O '⊥平面BCDE , 所以A H CD '⊥,

所以A HO '∠为二面角A CD B '-

-的平面角.

结合图1可知, H 为AC 中点,

2OH =

, 从而2A

H '== 所以cos OH A HO A H '∠=

=', 所以二面角A CD B '--向量法

:以O 点为原点, 建立空间直角坐标系O xyz -则(A ', ()0, 3,0

C -, ()1, 2,0D -

所以(CA '= , (1, DA '=- 设(), , n x y z = 为平面A CD '的法向量, 则

00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'

⋅=⎪⎩

, 即3020

y x y ⎧

+=⎪⎨-++=⎪⎩, 解得y x z =-

⎧⎪⎨=⎪⎩, 令1x =, 得(1,

n =- 由(Ⅰ) 知, (OA '= 为平面CDB 的一个法向量,

所以cos , n OA n OA n OA '⋅'==='

, 即二面角A CD B '--的平面角的余弦

1 7 9

2 0 1 5 3 0

第17题图

18. 设椭圆22

22

:11x y E a a +

=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;

(Ⅱ)设12, F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P FQ ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上。

【答案】 (Ⅰ) 13

8582

2=+x x . (Ⅱ) 01=-+y x 【解析】 (Ⅰ)

13

858851, 12, 12

22

2

2

2

2

2

=+=⇒+-==->x x a c a a c a a .

(Ⅱ) ) , (), , ), , 0(), , (), 0, (), 0, (2221m c QF y c x F m Q y x P c F c F -=-=-(则设. 由) 1, 0(), 1, 0() 1, 0(012∈∈⇒∈⇒>-y x a a .

⎩⎨

⎧=++=-⊥=+=0

) () (, //). , (), , (112211my c x c yc

x c m Q F P F QF P F m c Q F y c x P F 得:由 解得联立⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒2222222

2

222222111. ) )((c a a c y x a y a x c y x y c x c x

y x y x y x y

x y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1) 1, 0(), 1, 0(. ) 1(11212222

22

222 所以动点P 过定直线01=-+y x .

19. 某车间共有12名工人, 随机抽取6名, 他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,

球队。游戏规则为:以O 为起点,再从12345678, , , , , , , , A A A A A A A A (如图) 这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X . 若0X 就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队。

(1) 求小波参加学校合唱团的概率;

(2)求X 的分布列和数学期望。

(2)由题意可知X 的可能取值为:3,2,1,0 相应的概率依次为:14416,

, , 9272727,所以EX=7

9

23. 某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在1,2,3, ,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生.

(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3) i P i =;

(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了输出y 的值为(1,2,3) i i =的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.

甲的频数统计表(部分) 乙的频数统计表(部分)

当2100n =时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3) i i =的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大; (Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.