1、离散数学是数学中的一个分支,它以离散量作为其主要研究对象,非常重视 能行性问题的研究。
2要解决一个问题,首先要证明此问题解的存在性,还需要找出得到此问题的步
骤来,而且其步骤必须是有限的,有规则的,这就是所谓“能行性”问题的研究。
2、设{}4, 3, 2, 1=A ,{}9, 6, 4, 2=B ,那么集合A ,B 的对称差A+B= {}9, 6, 3, 1。
3、设集合{}2, 1=X 上的二元关系{}) 2, 2(), 1, 1(=R ,则R 既是等价关系又是偏序关系
4、{}}, {, , , , βα==B d c b a A ,那么可以定义 16 种不同的从A 到B 的映射。
5、设函数2) (, :, 12) (, :r r g R R g r r f R R f =→+=→,则f 有反函数。 6、A ,B 是无限集,则
7、如果A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},则A ∩B=3,4},A+B={1,2,5,6} 。
8、对于关系,除了集合的表示形式外还有 关系图 、 关系矩阵 等表示法。
9、A={1,3,5,7,9},R 是A 上的模4同余关系,则A/R= {{1,5,9},{3,7}} 。
10、关系R 具有自反性,则它所对应的关系图具有 每个结点都有环 的特
性,它所对应的关系矩阵有 主对角线上的元素都为1 的特性。 12、设A ,B 为有限集,且
n B m A ==, ,那么A 与B 间存在双射,当且仅
当 m=n 。
13、凡与自然数集等势的集合都是可列集,那么整数集Z 是 可列集 ,实数集R 是 不可列的 。
14、试解释偏序关系和等价关系的概念,并给出一个集合上的关系,使它既是偏
序关系又是等价关系。
答:偏序关系:集合x 上的关系R 如果是自反的,反对称的,传递的,则称R 在x 上是偏序的
等价关系:一个在x 上的关系R ,如果它是自反的,对称的,传递的,则称此关
系为等价关系
令}) 3, 3(), 2, 2(), 1, 1({},3, 2, 1{==Q x 恒等关系
1、设集合{}1, 0=A ,{}3, 2=B ,{}4, 1=C ,试求:(1)B C A ⨯) ( ,(2)C A ⨯) (ρ,
(3)C B A ⨯⨯
解:A∪C={0,1,4},)}3, 4(), 2, 4(), 3, 1(), 2, 1(), 3, 0(), 2, 0{() (=⨯⋃B C A
}}1, 0{},1{},0{, {) (Φ=A ρ,)}4},1, 0({), 1},1, 0({), 4},1({), 1},1({), 4},0({), 1},0({), 4, (), 1, {() (ΦΦ=⨯C A ρ
)}4, 3, 1(), 1, 3, 1(), 4, 2, 1(), 1, 2, 1(), 4, 3, 0(), 1, 3, 0(), 4, 2, 0(), 1, 2, 0{(=⨯⨯C B A
2、设集合{}4, 3, 2, 1=A ,A 上二元关系{}2) , (+==a b b a R ,
{}2/1) , (a b a b b a S =+==或,求(1)复合关系R S S R , ,(2)求S R 的逆关系的关系矩阵。
解:R={(1,3),(2,4)} S={(1,2),(2,3),(3,4),(2,1),(4,2)} )}4, 4(), 3, 2(), 4, 1{()},2, 2(), 4, 1{(==R S S R
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==--0001000000100000)},2, 2(), 1, 4{() (1
) (1S R M S R 3、设{}f e d c b a S , , , , , =,S 上的偏序关系R={(a,a), (b,a), (b,b),
(c,a),(c,c),(d,a),(d,b),(d,c),(d,d),(e,a),(e,c),(e,e),(f,f)}。
(1)试画出偏序集(S ,R )的哈斯图;
(2)写出(S ,R )的最大(小) 元,极大(小)元。
最大元与最小元都不存在.
极大元是a,f, 极小元是d,e ,f.
17、证明题
设A ,B ,C 为任意三个集合,试证明:) () () (C B C A C B A ---=--。
证明:)()C B C A C B C A ∽∽∽() () (⋂⋂⋂=---
=(A ∩∽C )∩(∽B ∪C )
=(A ∩∽B ∩∽C )∪(A ∩∽C ∩C )
=(A ∩∽B ∩∽C )∪φ
=(A-B )-C
1、群(G ,*)中,其中G 的元素个数为n ,那么它产生的变换个数为
n! 。
2、一个群(G , ),的子群(N , )是正规子群的充要条件是N n G a a N a n a ∈∈∈--, , , 11 。
3、下面的代数系统(G ,*)中,*是普通加法运算,则G 为自然数集合不是群。
4、设G 是群,若G 中有 6 个元素,则不能肯定G 是可换集。
5、在群()88, +Z 中,其单位元为[0],[2]的逆元素为[6],而[2]的周期为 4 。
6、布尔代数)) (() 1(c a b a +∙+∙的对偶式是 ) () 0(a b ∙+∙+ 。
8、简答题:群的条件:(1)满足结合律(2
9、化简:如:复习与思考中关于布尔代数式的化简。
解: ) () () () () (c b a c b a c b c b a c b a ∧∧∨∧∧∨∧∨∧∧∨∧∧ =)) () (() ()) () ((c b a c b a c b c b a c b a ∧∧∨∧∧∨∧∨∧∧∨∧∧ =) () () (c b b b a ∧∨∧∨∧
=) (c b b ∧∨
=b
10、试证若群(G ,*)的每个元素的逆元素都是它自己,则该群必是可换群。 证:不妨设该群为(G ,0)
由题意可知:对任意的b a b a b b a a
G b a ===∈---111) (, , , 都有 而1
) 1() () (1) 1() () (========b b b b b a a b b a a b a a a a a b b a a b b a )()( a b b a =∴-1) (
由逆元的唯一性得:a b b a =即满足交换律,则它必是可换群
离散
初三
散文
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