数学论文写作
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论文写作课考查小论文

对一道高考题的前思后想

(数学科学学院 09(2) 庄健超 09211241)

在平时的数学学习中,我们要善于从简单现象的背后,揭示出深刻的数学理论,从平凡事实的背后,挖掘出不平凡的东西. 下面简要谈一下对一道高考题的思考,以期达到抛砖引玉的作用,不当之处,敬请批评指正。

问题1 同室四人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中抽取一张别人送出的贺卡,则四张贺卡不同的分配方法有多少种?

思路1 若4 张贺卡任意分给4 个人有44A 种,而其中只有1 人拿自己贺卡有14C ×

2种分法,有2 人拿自己贺卡有24C 种分法,有3 人拿自己贺卡时则第4 人一定拿自

己贺卡,则只有1 种分法。

因此满足条件的分法种数为: 44A -214C -24C -1 = 9

思路2 对4人分别编1,2,3,4四个号,对四张贺卡也编上1,2,3,4四个号,那么1,2,3,4 填入四个方格的一个填法对应贺卡的一种抽取法,原题转化成上面所述方格的编号与所填数字不同的填法种数问题。

据题意,数字1不填1号格,它只能填2,3.4号格,如图,【】【1】【】【】、【】【】

【1】【】、

【】【】【】【1】,, 即1填格可分三类,第一类中,2排在1号格时,3只能填4号格,4填

3号格,【2】【1】【4】【3】,2填3, 号格时,3只能填4号格,4填1号格,即【4】【1】

【2】【3】,同理,2填4号格时,填法为【3】【1】【4】【2】。

故第一类中有三种填法。

1在第2格与在第3格、第4格性质完全相同,同理可得到第二类、第三类各有三种填法。

所以根据分类加法计数原理,可得满足条件的填法为:3+3+3=9.

问题2 若把上面题目改为: 同室n( n∈+N ) 人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中抽取一张别人送出的贺卡,则n 张贺卡不同的分配方法有多少种? 分析 用n S 表示同室n( n∈+N ) 人时的抽取方法数。

易得:①当n = 1时,有0种抽取方法,即S1 = 0. ②当n = 2时,有1种抽取方法,即S2 = 1. ③当n = 3时,有2种抽取方法,即S3 = 2. ④当n = 4时,有9种抽取方法,即S4 = 9. ……

那么,当有n( n≥3) 个人时的抽法种数为 n S =(n-1)(1-n S +2-n S )

思路分析 对室内的n 个人分别编号为n a a a a ,..., , , 321, ,他们所写的贺卡编号为n A A A A ,..., , , 321, ,则室内的前n-1个人与第n 个人n a 抽取贺卡时仅有两种情况: 第一种情况是第n 个人n a 与前n-1个人1321,..., , , -n a a a a 中的一个互换了贺卡,不妨假设第n 个人与第n-1个人互换了贺卡,即n a 与1-n a 互换了贺卡,则前n-2个人

2321,... , , , -n a a a a 之间互相抽取贺卡,

和n a 与1-n a 的抽取无关,其抽取方法种数为2-n S ,而第n 个人n a 与前n-1个人中任一人可以互换贺卡,有11-n C 种抽取方法。

由分步乘法计数原理可知有11-n C *2-n S 种抽法。

第二种情况是第n 个人n a 与前n-1个人1321,..., , , -n a a a a 中的任何人的贺卡不是互换的,即i a (1≤i ≤n-1)抽取了n a 写的贺卡n A ,而n a 抽取的是j a (1≤j ≤n-1且i ≠j )写的贺卡j A 。我们可以先使前n-1个人1321,..., , , -n a a a a 相互抽取贺卡,每人不能抽取自己写的贺卡,共有1-n S 种抽取方法:第n 个人n a 用自己所写的贺卡n A 与前n-1个人中任一人所抽取的贺卡互换,例如前n-1个人1321,..., , , -n a a a a 相互抽取贺卡时i a (1≤i ≤n-1)抽的是j a (1≤j ≤n-1且i ≠j )写的贺卡j A ,即i a 抽取的是j A ;而n a 用自己写的贺卡n A 与i a (1≤i ≤n-1)抽的j a (1≤j ≤n-1且i ≠j )写的贺卡互换j A ,这样最终

就出现了:i a 抽取的是n A , n a 抽取的是j A ,共有11-n C 种抽取方法。

对于第二种情况,由分步乘法计数原理可知有11-n C *1-n S 种抽法。

综合上述两种情况可得总的抽法种数为

n S =11-n C *2-n S +11-n C *1-n S =11-n C *(2-n S +1-n S ) (n≥3) 所以=n S 11120(1) 1

(2) *() (3)

n n n n n C S S n ---⎧=⎪=⎨⎪+≥⎩