定义 1.1 设 p 为命题,复合命题“非 p ” (即 “p 的否定”) 称为 p 的否定式,记为 ┐p 。符号 ┐称为否定联结词。
规定:┐p 为真当且仅当 p 为假。
定义1.2 设 p , q 为两个命题。复合命题“ p 与q” 即“p 并且q” 称为 p 与 q 的合取式,记为 p ∧ q 。符号∧称为合取联结词。
规定:p ∧ q为真当且仅当 p 与q 同时为真。(∧读音为Lambda (小写λ)音标:['laemdə] 中文:拉米塔)
定义1.3 设 p , q 为两个命题 , 复合命题 “ p 或 q ” 称为 p 与 q 的析取式, 记为 p ∨q 。符号∨称为析取联结词。
规定: p ∨q 为假当且仅当 p 与 q 同时为假。
定义1.4 设p , q 为两个命题。复合命题 “如果 p , 则 q ”称为p 与q 的蕴涵式,记作p →q 。符号→称为蕴涵联结词, 称p 是蕴涵式的前件,q 是蕴涵式的后件,q 是p 的必要条件。
规定: p →q 为假当且仅当 p 为真q 为假。
假设A 是条件,B 是结论
(1)由A 可以推出B ,由B 可以推出A ,则A 是B 的充要条件(A=B)
(2)由A 可以推出B ,由B 不可以推出A ,则A 是B 的充分不必要条件(A⊆B)
(3)由A 不可以推出B ,由B 可以推出A ,则A 是B 的必要不充分条件(B⊆A)
(4)由A 不可以推出B ,由B 不可以推出A ,则A 是B 的既不充分也不必要条件(A¢B 且B ¢A)
定义1.5 设 p , q 是两个命题,复合命题 “p 当且仅当 q ”称为 p 与 q 的等价式,记为 p↔q。符号↔称为等价联结词。
规定: p↔q 为真当且仅当 p 与 q 同时为真或同时为假。
注:p↔q 可理解为“q 与p 互为充分必要条件”;它与(p →q ) ∧(q →p ) 的逻辑关系完全一致。
多次使用联结词集中的联结词,可组成更为复杂的复合命题。求复杂的复合命题的真值时,可依据上述真值表逐次求取。但运算过程中应注意联结词的优先
顺序(包括括号) :
( ), ┐, ∧, ∨, →,↔。
对同一优先级的联结词,按出现的先后次序运算。
定义1.6 简单命题(原子命题)称为命题常项,而称真值可以变化的陈述句为命题变项。命题变项一般也用小写字母p,q,r ,…来表示。
将命题变项用联结词和括号按一定逻辑关系联结起来的符号串称为合式公式或命题公式。具体地说, 合式公式定义如下:
(1) 单个命题变项是合式公式, 称为原子命题公式.
(2) 若A 是合式公式, 则(┐A) 也是合式公式.
(3) 若A,B 是合式公式, 则(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B)也是合式公式.
(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式.
设A 是合式公式, B是中的一部分, 若B 是合式公式, 则称B 为A 的子公式.
定义1.7 (1) 若命题公式A 是单个命题变项,则称A 为0层公式。
(2) 称命题A 是n +1(n ≥0) 层公式,只要A 是下列情况之一:
(a) A = ┐B, B 是 n 层公式;
(b) A= B∧C, B, C 分别为 i 层和j 层公式,且max (i , j) = n。
(c) A=B∨C, B, C 分别为 i 层和j 层公式,且max ( i , j) = n。
(d) A= B→C, B, C 分别为 i 层和j 层公式,且max ( i , j)= n。 (e) A= B↔C, B, C 分别为 i 层和j 层公式,且max (i , j)= n。
定义 1.8 设在命题公式A 中出现的所有命题变项为p 1 , p 2 , … p n , 给它们各指定一个真值,称为对公式A 的一个赋值 (或解释) 。若一个赋值使A 的真值为1,则称该赋值为A 的成真赋值,否则称为A 的成假赋值。
定义 1.9 将命题公式A 在所有赋值下的取值情况列成表,称为A 的真值表。含n 个命题变项的公式共有2n 个不同的赋值。构造真值表的一般步骤如下:
(1) 列出命题公式中的所有命题变项 p 1, p 2, … p n ,(无下标时按字典序排列) 。列出这些变项的所有2n 个赋值。一般从00…0开始,按二进制加法依次列到11…1为止。
(2) 按从低到高的顺序依次列出公式的各个层。
(3) 对应于变项的2n 个赋值分别计算出各层的真值,直至算出公式的真值。
定义1.10 设A 是一个命题公式。
(1) 若A 在各种赋值下取值总为1,则称A 是永真式或重言式。
(2) 若A 在各种赋值下取值总为0,则称A 是永假式或矛盾式。
(3) 若A 不是矛盾式,则称A 为可满足式。
注:A 是可满足式当且仅当A 至少存在一个成真赋值。
1. 重言式必是可满足式,但反之不真。
2. 可用真值表来判断公式的类型:
(1) 若真值表最后一列全为1,则公式为重言式;
(2) 若真值表最后一列全为0,则公式为矛盾式;
(3) 若真值表最后一列至少有一个1,则公式为可满足式。
给定n 个命题变项,使用联结词和括号,可构成无穷多个命题公式。
n个命题变项共有 2n 个可能的赋值,而在每个赋值下公式只能取值0或1。因此含n个命题变项的公式其真值表只有22n种可能的情况。从而必有无穷多个公式具有相同的真值表。
设公式A、B中总共含有命题变项p 1, p 2, … p n ,但A或B并不全含有这些变项。如果某个变项未在公式A中出现,则称该变项为A的哑元。同样可定义B的哑元。
离散笔记
初三
散文
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